Examkin

Soru

Zorluk: ZorSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x2−ax+2a−43(x−2),x>2b,x=2x2+5−3x−2,x<2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 2a - 4}{3(x-2)}, & x > 2 \\ b, & x = 2 \\ \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2}, & x < 2 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

Buna göre, 3a+6b3a + 6b toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Cevap
  4. D
    14
  5. E
    22

Cevap

3a + 6b toplamının değeri 10'dur.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için kritik nokta olan x = 2 noktasında sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Sol limit hesaplandığında 2/3 değeri elde edilir, dolayısıyla b = 2/3 olur. Sağ limit sadeleştirme sonrasında (4-a)/3 olarak bulunur ve bu değerin de 2/3'e eşit olması gerektiğinden a = 2 elde edilir. Buradan 3a + 6b = 3(2) + 6(2/3) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x = 2 noktasındaki sol limit hesaplanır.
L_sol = lim_{x -> 2^-} (sqrt(x^2 + 5) - 3) / (x - 2) = 2/3
0/0 belirsizliğini gidermek için pay ve payda, payın eşleniği olan (sqrt(x^2 + 5) + 3) ile çarpılır. Limit değeri (x+2)/(sqrt(x^2+5)+3) ifadesinde x = 2 yazılarak 4/6 = 2/3 olarak bulunur.
2
Süreklilik tanımı gereği fonksiyon değeri sol limite eşitlenir.
b = 2/3
Fonksiyonun x = 2 noktasında sürekli olması için f(2) = b değerinin sol limit değerine eşit olması gerekir.
3
x = 2 noktasındaki sağ limit hesaplanır ve sol limite eşitlenerek a parametresi bulunur.
L_sag = (4 - a)/3 = 2/3 => a = 2
Sağ parçanın payı olan x^2 - ax + 2a - 4 ifadesi (x-2)(x+2-a) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki 3(x-2) ile (x-2) terimleri sadeleştikten sonra x = 2 yazılarak limit (4-a)/3 bulunur. Bu limitin 2/3 olması için a = 2 olmalıdır.
4
İstenen 3a + 6b ifadesi hesaplanır.
3(2) + 6(2/3) = 6 + 4 = 10
Bulunan a = 2 ve b = 2/3 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru