Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ikinci dereceden bir ff fonksiyonu için f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (2,12)(2, 12) aralığıdır.

Buna göre,
f(x2−x)<0f(x^2 - x) < 0
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?
  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 2 farklı tam sayı değeri vardır.
Doğru seçenekte belirtilen 2 değeri, 2<x2−x<122 < x^2 - x < 12 eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi olan (−3,−1)∪(2,4)(-3, -1) \cup (2, 4) aralığındaki tam sayıların sayısıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar yalnızca −2-2 ve 33 değerleridir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinden hareketle değişken tanımlaması yapılması.
f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (2,12)(2, 12) olduğundan, f(u)<0  ⟺  2<u<12f(u) < 0 \iff 2 < u < 12 elde edilir. Buradan f(x2−x)<0f(x^2 - x) < 0 eşitsizliği 2<x2−x<122 < x^2 - x < 12 eşitsizlik sistemine dönüşür.
Fonksiyonun girdisi olan x2−xx^2 - x ifadesinin değer alabileceği aralığı belirlemek için.
2
x2−x>2x^2 - x > 2 eşitsizliğinin çözülmesi.
x2−x−2>0⇒(x−2)(x+1)>0x^2 - x - 2 > 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) > 0 olur. Kökler x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olup, işaret tablosuna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−1)∪(2,∞)(-\infty, -1) \cup (2, \infty) aralığıdır.
Sistemin ilk eşitsizliğini sağlayan xx değerlerini bulmak için.
3
x2−x<12x^2 - x < 12 eşitsizliğinin çözülmesi.
x2−x−12<0⇒(x−4)(x+3)<0x^2 - x - 12 < 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 3) < 0 olur. Kökler x=−3x = -3 ve x=4x = 4 olup, işaret tablosuna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−3,4)(-3, 4) aralığıdır.
Sistemin ikinci eşitsizliğini sağlayan xx değerlerini bulmak için.
4
Bulunan iki çözüm kümesinin kesiştirilmesi ve ortak tam sayıların belirlenmesi.
İki çözüm kümesinin kesişimi ((−∞,−1)∪(2,∞))∩(−3,4)=(−3,−1)∪(2,4)\left( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \right) \cap (-3, 4) = (-3, -1) \cup (2, 4) olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar sadece −2-2 ve 33 değerleridir. Dolayısıyla 2 farklı değer vardır.
Eşitsizlik sistemini aynı anda sağlayan ortak xx tam sayılarını bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu yardımıyla çözülmesi ve bileşke fonksiyon içeren eşitsizliklerin analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi