(1, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int \frac{x^{7/2} - x^{1/2}}{x^{3/2} - x^{1/2}} \, dx\neşitliği sağlanmaktadır. f(2) = 6 olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?

(1, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int \frac{x… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

(1, \infty)

aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(x) = \int \frac{x^{7/2} - x^{1/2}}{x^{3/2} - x^{1/2}} \, dx

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(2) = 6$ olduğuna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

\frac{95}{6}

İntegral içerisindeki ifade

x^{1/2}

(x-1)

çarpanlarına göre sadeleştirildiğinde

x^2+x+1

polinomuna dönüşür. Bu ifadenin integral kurallarına göre entegre edilmesiyle elde edilen genel kuralda,

f(2)=6

koşulu uygulanarak integral sabiti

C = -\frac{2}{3}

olarak bulunur. Bu aşamadan sonra fonksiyonda

x=3

yazıldığında rasyonel işlemler sonucu doğru yanıt olan

\frac{95}{6}

değerine ulaşılır.

İntegral içindeki rasyonel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.

x^2 + x + 1

İfadeyi temel integral alma kurallarına uygun hale getirmek için payı

x^{1/2}(x^3 - 1)

ve paydayı

x^{1/2}(x - 1)

olarak yazıp sadeleştiririz.

x > 1

olduğundan iki küp farkı açılımıyla

(x^3 - 1) / (x - 1) = x^2 + x + 1

elde edilir.

Sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini alın.

f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C

Polinom fonksiyonların integral alma kuralı olan üssü 1 artırıp yeni üsse bölme kuralını her bir terim için ayrı ayrı uygularız.

f(2) = 6

sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (

C

) bulun.

C = -\frac{2}{3}

Genel fonksiyon kuralında

x = 2

yazıp ifadeyi 6'ya eşitleyerek

C

sabitinin değerini netleştiririz:

\frac{8}{3} + 2 + 2 + C = 6 \implies \frac{20}{3} + C = 6 \implies C = -\frac{2}{3}

Bulunan fonksiyon kuralında

x = 3

yazarak istenen değeri hesaplayın.

f(3) = \frac{95}{6}

Soruda istenen

f(3)

değerini bulmak için fonksiyonda

x

yerine 3 yazarız:

f(3) = \frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 3 - \frac{2}{3} = 12 + \frac{9}{2} - \frac{2}{3} = \frac{95}{6}

Belirsiz integral alma kuralları, cebirsel sadeleştirme ve integral sabiti bulma.

Tahmini Süre:2m 30s