Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x=ax = a noktasında sürekli olan bir ff fonksiyonu için
lim⁡h→0f(a+h)−f(a−h)2h\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}
limitinin bir gerçel sayıya eşit olması, ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında türevlenebilir olması için yeterlidir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.
Verilen önerme yanlıştır çünkü süreklilik ve simetrik limitin varlığı, fonksiyonun o noktada türevlenebilir olmasını garanti etmez; f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki durumu buna net bir karşıt örnektir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişkiyi ve verilen limit ifadesini analiz etme.
Türevlenebilir her fonksiyon süreklidir, ancak sürekli her fonksiyon türevlenebilir olmak zorunda değildir. Verilen limit, literatürde simetrik türev limiti olarak bilinir.
Önermenin doğruluğunu test etmek için bir karşı örnek aranmasına karar verilir.
2
Sürekli olduğu halde türevsiz olan en bilindik fonksiyonu (f(x)=∣x∣f(x) = |x|) x=0x = 0 (a=0a = 0) noktası için inceleme.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonu x=0x = 0 noktasında süreklidir çünkü lim⁡x→0∣x∣=f(0)=0\lim_{x \to 0} |x| = f(0) = 0 koşulu sağlanır.
Önermedeki ilk şart olan sürekli olma koşulunun sağlandığı teyit edilir.
3
Seçilen fonksiyon için a=0a = 0 noktasındaki limit ifadesinin değerini hesaplama.
lim⁡h→0∣0+h∣−∣0−h∣2h=lim⁡h→0∣h∣−∣h∣2h=lim⁡h→002h=0\lim_{h \to 0} \frac{|0+h| - |0-h|}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - |h|}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{2h} = 0
olarak bulunur. Dolayısıyla limit mevcuttur ve 00 gerçel sayısına eşittir.
Önermedeki ikinci şart olan limitin bir gerçel sayıya eşit olma koşulunun sağlandığı gösterilir.
4
Fonksiyonun ilgili noktadaki türevlenebilirliğini kontrol etme.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki sağdan türevi 11, soldan türevi ise −1-1'dir. Sağdan ve soldan türevler eşit olmadığından, fonksiyon x=0x = 0 noktasında türevlenebilir değildir.
Önermenin sonucunun (türevlenebilir olması gerektiği iddiasının) yanlış olduğunu gösteren bir karşı örnek bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Süreklilik türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur ancak yeterli bir koşul değildir. Bir noktada sürekli olan ve simetrik limit değeri var olan bir fonksiyon o noktada türevlenebilir olmak zorunda değildir.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru