Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİtme ve Çizgisel Momentum

Yatay ve sürtünmesiz bir düzlem üzerinde durmakta olan M=3 kgM = 3\text{ kg} kütleli, sürtünmesiz eğik düzlemin (takoz) en üst noktasından m=1 kgm = 1\text{ kg} kütleli bir blok serbest bırakılıyor. Blok eğik düzlem boyunca kayarak en alt noktaya ulaşıyor ve takozu yatay doğrultuda terk ediyor. Bloğun takozu terk ettiği anda, bloğun takoza göre hızının yatay bileşeninin büyüklüğü 8 m/s8\text{ m/s} olarak ölçülüyor. Buna göre, bu süreçte bloğun takoza uyguladığı itmenin yatay bileşeninin büyüklüğü kaç N⋅s\text{N}\cdot\text{s}'dir?

  1. A
    2
  2. 6Cevap
  3. C
    8
  4. D
    12
  5. E
    24

Cevap

Bloğun takoza uyguladığı itmenin yatay bileşeninin büyüklüğü 6 N·s'dir.
Sisteme yatay doğrultuda etki eden net dış kuvvet sıfır olduğu için yatay çizgisel momentum korunur. Takozun sola doğru hızı VV ise, bloğun sağa doğru takoza göre bağıl hızı 8 m/s8\text{ m/s} olduğundan yere göre hızı 8−V8-V olur. Yatay momentumun korunumundan (1⋅(8−V)−3⋅V=01 \cdot (8-V) - 3 \cdot V = 0) takozun son hızı 2 m/s2\text{ m/s} bulunur. Takozun momentumundaki değişim yatay itmeye eşit olup, büyüklüğü 3 kg×2 m/s=6 N⋅s3\text{ kg} \times 2\text{ m/s} = 6\text{ N}\cdot\text{s} olarak hesaplanır. Etki-tepki prensibi gereğince bloğun takoza uyguladığı yatay itme de aynı büyüklükte olur.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay doğrultuda çizgisel momentumun korunumunu belirlemek
Sisteme yatay doğrultuda etki eden net dış kuvvet sıfır olduğundan, yatay doğrultudaki toplam çizgisel momentum korunur (Pilk,x=Pson,x=0P_{ilk, x} = P_{son, x} = 0). Düşey doğrultuda ise yer çekimi ve yerin tepki kuvveti nedeniyle momentum korunmaz.
İtme-momentum ilişkisinde dış kuvvetlerin yönü momentumun korunacağı ekseni belirler.
2
Bağıl hareket bağıntısını kullanarak bloğun yere göre yatay hızını takozun hızı cinsinden yazmak
Takoz sola doğru VV hızıyla hareket ediyorsa, hız vektörü V⃗takoz=−Vi^\vec{V}_{takoz} = -V \hat{i} olur. Bloğun takoza göre hızı sağa doğru 8 m/s8\text{ m/s} olduğuna göre, bloğun yere göre yatay hızı v⃗blok=(8−V)i^\vec{v}_{blok} = (8 - V) \hat{i} olur.
Momentum korunumunda hızların aynı referans sistemine (yere göre) göre yazılması gerekir.
3
Yatay momentumun korunumunu yazarak takozun son hızını bulmak
m⋅vblok−M⋅V=0⇒1⋅(8−V)−3⋅V=0⇒8−4V=0⇒V=2 m/sm \cdot v_{blok} - M \cdot V = 0 \Rightarrow 1 \cdot (8 - V) - 3 \cdot V = 0 \Rightarrow 8 - 4V = 0 \Rightarrow V = 2\text{ m/s} bulunur.
Sistemin ilk momentumu sıfır olduğu için son momentum vektörlerinin toplamı da sıfır olmalıdır.
4
Takoza uygulanan yatay itmeyi hesaplamak
Ix=ΔPtakoz=M⋅V=3 kg⋅2 m/s=6 N⋅sI_x = \Delta P_{takoz} = M \cdot V = 3\text{ kg} \cdot 2\text{ m/s} = 6\text{ N}\cdot\text{s}. Etki-tepki prensibi gereği bloğun takoza uyguladığı yatay itmenin büyüklüğü de buna eşittir ve 6 N⋅s6\text{ N}\cdot\text{s}'dir.
Bir cisme uygulanan itme, o cismin momentumundaki değişime eşittir (I=ΔPI = \Delta P).

Anahtar Kavram

Yatay doğrultuda net dış kuvvet sıfır olduğu için çizgisel momentumun korunması ve bağıl hareket yardımıyla momentum değişiminin (itmenin) hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Kütle merkezi çerçevesinde analiz: Sistemin kütle merkezinin yatay hızı başlangıçta sıfırdır ve dış yatay kuvvet olmadığından sıfır kalmaya devam eder. Kütle merkezine göre bloğun kütlesi mm ve takozun kütlesi MM ters yönlerde hızlara sahiptir. Bağıl hız vrel=vblok−vtakoz=8 m/sv_{rel} = v_{blok} - v_{takoz} = 8\text{ m/s} ise, kütle merkezine göre takozun hızı vtakoz′=−mM+mvrel=−14×8=−2 m/sv'_{takoz} = -\frac{m}{M+m} v_{rel} = -\frac{1}{4} \times 8 = -2\text{ m/s} olur. Buradan takozun kütle merkezine göre (ve dolayısıyla yere göre) hız değişimi büyüklüğü 2 m/s2\text{ m/s} bulunur. İtme ise M⋅ΔV=3⋅2=6 N⋅sM \cdot \Delta V = 3 \cdot 2 = 6\text{ N}\cdot\text{s} olarak elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İtme ve Çizgisel Momentum

Bu konudan daha fazla soru