f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax - 8}{x - 4}, & x < 4 \\ bx - 2, & 4 \leq x < 7 \\ \log… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax - 8}{x - 4}, & x < 4 \\ bx - 2, & 4 \leq x < 7 \\ \log_2(x - 3) + c, & x \geq 7 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde süreklidir.

Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktaları olan

x = 4

x = 7

noktalarında da sürekli olması gerekir.

x = 4

noktasındaki sol limitin var olması için payda sıfırken payın da sıfır olması gerektiğinden

a = 2

bulunur. Sadeleşen limit değeri 6'dır. Süreklilik için sağ limit de 6 olmalıdır, buradan

b = 2

elde edilir.

x = 7

noktasındaki sol limit

7(2) - 2 = 12

olur. Sağ limitin de 12 olması için

\log_2(4) + c = 12 \implies 2 + c = 12 \implies c = 10

bulunur. Değerlerin toplamı 14 yapar.

x = 4

noktasındaki sol limitin varlığını incelemek

a = 2

\lim_{x \to 4^-} f(x) = 6

x < 4

için tanımsızlık olmaması ve limitin reel sayı çıkması için pay sıfır olmalıdır. Buradan

16 - 4a - 8 = 0 \implies a = 2

bulunur. İfade sadeleştirildiğinde

\frac{(x-4)(x+2)}{x-4} = x + 2

olur ve limit

4 + 2 = 6

çıkar.

x = 4

noktasındaki süreklilik şartını uygulamak

b = 2

Sol limit ile sağ limit eşit olmalıdır:

\lim_{x \to 4^+} (bx - 2) = 4b - 2 = 6 \implies b = 2

bulunur.

x = 7

noktasındaki süreklilik şartını uygulamak

c = 10

Sol limit ile sağ limit eşit olmalıdır:

\lim_{x \to 7^-} (2x - 2) = 12

\lim_{x \to 7^+} (\log_2(x-3) + c) = \log_2(4) + c = 2 + c

. Buradan

2 + c = 12 \implies c = 10

elde edilir.

a + b + c

toplamını hesaplamak

2 + 2 + 10 = 14

Bulunan parametrelerin toplamı sorulmaktadır.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limiti, sol limiti ve fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru