Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu ve bir a gerçel sayısı için \lim_{… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu ve bir $a$ gerçel sayısı için $\lim_{x \to a} |f(x)| = |f(a)|$ eşitliği sağlanıyorsa $f$ fonksiyonu $x = a$ noktasında süreklidir.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade yanlıştır.

Mutlak değerce limitin fonksiyonun mutlak değerine eşit olması, fonksiyonun limitinin varlığını veya sürekliliğini garanti etmez. Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği için o noktada limitinin var olması ve bu limitin doğrudan o noktadaki fonksiyon değerine eşit olması şarttır.

Adım Adım Çözüm

Süreklilik tanımını hatırlayalım.

Bir

f

fonksiyonunun

x = a

noktasında sürekli olması için

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

eşitliği sağlanmalıdır.

Sürekliliğin tanımı gereği, limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir.

Verilen mutlak değerli koşulu inceleyelim.

Verilen

\lim_{x \to a} |f(x)| = |f(a)|

eşitliği,

f(x)

fonksiyonunun

x = a

noktasında limiti olmasını veya sürekli olmasını garanti etmez.

Mutlak değer, farklı işaretli limitlerin (örneğin sağdan limit

1

, soldan limit

-1

) mutlak değerini eşitleyerek limiti varmış gibi gösterebilir.

Karşıt örnek oluşturalım.

f(x) = \begin{cases} 1, & x \ge a \\ -1, & x < a \end{cases}

fonksiyonunda

\lim_{x \to a} |f(x)| = 1

|f(a)| = 1

olur ancak fonksiyonun

x = a

noktasında limiti yoktur.

Süreklilik şartının her durumda sağlanmadığını göstermek için karşıt bir örnek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun süreklilik tanımı ve mutlak değer içeren limit durumlarında süreksizlik incelemesi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru