Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→2x3−ax−2x2−4=b\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - ax - 2}{x^2 - 4} = b
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    194\frac{19}{4}
  3. 214\frac{21}{4}Cevap
  4. D
    34\frac{3}{4}
  5. E
    −34-\frac{3}{4}

Cevap

Toplamın değeri 214\frac{21}{4}'tür.
Limitin gerçel sayı çıkması için paydanın sıfır olduğu noktada pay da sıfır olmalıdır. Buradan a=3a = 3 elde edilir. Payda bulunan x3−3x−2x^3 - 3x - 2 ifadesi (x−2)(x+1)2(x-2)(x+1)^2 şeklinde çarpanlarına ayrılarak paydadaki (x−2)(x-2) ile sadeleştirilir. Kalan ifadede x=2x=2 yazılarak limit değeri b=94b = \frac{9}{4} bulunur. Bu iki değer toplandığında 214\frac{21}{4} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleme ve belirsizlik durumunu belirleme
lim⁡x→2(x2−4)=0\lim_{x \to 2} (x^2 - 4) = 0 olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın limitinin de sıfır olması gerekir. Yani, lim⁡x→2(x3−ax−2)=0\lim_{x \to 2} (x^3 - ax - 2) = 0 olmalıdır.
0/00/0 belirsizliği oluşmalıdır, aksi takdirde limit gerçel bir sayı olamaz.
2
aa değerini bulma
23−a(2)−2=0  ⟹  8−2a−2=0  ⟹  6=2a  ⟹  a=32^3 - a(2) - 2 = 0 \implies 8 - 2a - 2 = 0 \implies 6 = 2a \implies a = 3 bulunur.
Polinomların limitinde doğrudan yerine yazma özelliği kullanılır.
3
Belirsizliği gidermek için payı çarpanlarına ayırma
a=3a = 3 için pay x3−3x−2x^3 - 3x - 2 olur. Bu polinomun bir kökü x=2x = 2 olduğundan (x−2)(x - 2) çarpanına tam bölünür. Polinom bölmesi yapıldığında x3−3x−2=(x−2)(x2+2x+1)=(x−2)(x+1)2x^3 - 3x - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 1) = (x - 2)(x + 1)^2 elde edilir.
Ortak çarpanları sadeleştirerek belirsizliği ortadan kaldırmak hedeflenir.
4
Limit değerini (bb) hesaplama
lim⁡x→2(x−2)(x+1)2(x−2)(x+2)=lim⁡x→2(x+1)2x+2=(2+1)22+2=94\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 1)^2}{x + 2} = \frac{(2 + 1)^2}{2 + 2} = \frac{9}{4} bulunur. Buradan b=94b = \frac{9}{4} olur.
Pay ve paydadaki (x−2)(x-2) çarpanları sadeleştikten sonra kalan ifadede x=2x = 2 yazılır.
5
a+ba + b toplamını hesaplama
a+b=3+94=12+94=214a + b = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12 + 9}{4} = \frac{21}{4} elde edilir.
İstenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliğinde, belirsizliğe yol açan çarpanlar sadeleştirilerek limit hesaplanır. Limitin gerçel sayı olması koşuluyla bilinmeyen parametreler belirlenir.
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru