Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
a>6a > 6 olmak üzere, xx gerçel sayısı için
(x−2)2(x−a)x−6≤0\frac{(x - 2)^2 (x - a)}{x - 6} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Bu eşitsizliği sağlayan tam sayıların kümesinde tam 7 tane pozitif tam sayı bulunduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [11,12)[11, 12)
  2. [12,13)[12, 13)Cevap
  3. C
    [13,14)[13, 14)
  4. D
    (12,13](12, 13]
  5. E
    [10,11)[10, 11)

Cevap

a sayısı [12, 13) aralığında yer almalıdır.
Eşitsizliğin çözüm kümesi {2}∪(6,a]\{2\} \cup (6, a] olarak bulunur. Bu kümedeki pozitif tam sayılardan biri 22'dir. Kalan 6 tanesi ise 66'dan büyük olan 7,8,9,10,11,127, 8, 9, 10, 11, 12 sayılarıdır. Bu durumun gerçekleşmesi için aa değerinin 1212'ye eşit veya büyük, ancak 1313'ten küçük olması gerekir. Dolayısıyla en geniş aralık [12,13)[12, 13) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği oluşturan ifadelerin köklerini belirleyelim.
Payın kökleri: (x−2)2=0  ⟹  x=2(x-2)^2 = 0 \implies x = 2 (çift katlı kök) ve x−a=0  ⟹  x=ax-a = 0 \implies x = a (tek katlı kök).
Paydanın kökü: x−6=0  ⟹  x=6x-6 = 0 \implies x = 6 (tek katlı kök).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktaları bulmamız gerekir.
2
a>6a > 6 koşuluna göre kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlayalım.
Köklerin sıralaması: 2<6<a2 < 6 < a.
İşaret tablosu en sağdan (x>ax > a) pozitif (++) işaretle başlar, x=ax = a kökünde eksi (−-) olur, x=6x = 6 kökünde artı (++) olur ve x=2x = 2 çift katlı kökünde işaret değişmeyerek artı (++) olarak kalır.
Baş katsayılar pozitif olduğu için tablonun sağ ucu pozitif değer alır. Tek katlı köklerde işaret değişirken, çift katlı köklerde işaret korunur.
3
Eşitsizlik ≤0\leq 0 olduğu için ifadenin negatif veya sıfır olduğu çözüm kümesini yazalım.
Çözüm kümesi: {2}∪(6,a]\{2\} \cup (6, a]
İfadenin negatif olduğu tek aralık (6,a)(6, a) aralığıdır. Payı sıfır yapan 22 ve aa değerleri dahil edilirken, paydayı sıfır yapan 66 değeri tanımsızlık nedeniyle dahil edilmez.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları inceleyerek aa parametresinin aralığını belirleyelim.
Çözüm kümesindeki ilk pozitif tam sayı 22 sayısıdır (1 adet).
Toplam 7 tane pozitif tam sayı çözümü olması için (6,a](6, a] aralığından tam 6 tane pozitif tam sayı gelmelidir. Bu sayılar 7,8,9,10,11,127, 8, 9, 10, 11, 12 olmak zorundadır.
Buradan 12≤a<1312 \leq a < 13 elde edilir.
1212 sayısının çözüm kümesinde bulunması için a≥12a \geq 12 olmalı, 1313 sayısının kümede yer almaması için ise a<13a < 13 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde çift katlı kök, payda kökü (tanımsızlık) durumları ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesi sınırlarının analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi