Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
kk bir tam sayı olmak üzere,
x2−2(k−1)x+k2−3k−4<0x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 3k - 4 < 0
eşitsizliği en az bir negatif gerçel sayı için sağlanırken, x≤−3x \le -3 koşulunu sağlayan hiçbir gerçel sayı için sağlanmamaktadır.

Buna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 6

Cevap

k sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 6'dır.
Eşitsizliğin köklerinin x_1 ve x_2 olduğu durumda, çözüm kümesi (x_1, x_2) aralığıdır. En az bir negatif sayı için sağlanması x_1 < 0 olmasını, x <= -3 için sağlanmaması ise x_1 >= -3 olmasını gerektirir. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde -3 <= x_1 < 0 elde edilir. Bu eşitsizlik sistemi çözüldüğünde k tam sayı değerlerinin 1, 2 ve 3 olduğu görülür. Toplamları ise 6 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden denklemin köklerini diskriminant yöntemiyle k parametresine bağlı olarak bulun.
Diskriminant Δ=4(k+5)\Delta = 4(k+5) ve kökler x1=k−1−k+5x_1 = k-1 - \sqrt{k+5}, x2=k−1+k+5x_2 = k-1 + \sqrt{k+5} olarak elde edilir. Reel köklerin varlığı için k>−5k > -5 olmalıdır.
Eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek için sınır noktaları olan köklerin k cinsinden ifadesine ihtiyaç vardır.
2
İlk koşul olan 'en az bir negatif gerçel sayı için sağlanması' durumunu analiz edin.
x2−2(k−1)x+k2−3k−4<0x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 3k - 4 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (x1,x2)(x_1, x_2) açık aralığıdır. Bu aralıkta negatif sayıların bulunması için en küçük sınır olan x1x_1'in sıfırdan küçük olması (x1<0x_1 < 0) gerekir. Buradan k−1<k+5k-1 < \sqrt{k+5} eşitsizliği elde edilir.
Baş katsayı pozitif olduğundan, ifadenin negatif olduğu bölge kökler arasıdır. Bu bölgenin negatif sayıları içermesi için sol ucun sıfırdan küçük olması gerekir.
3
İkinci koşul olan 'x \le -3 koşulunu sağlayan hiçbir değer için sağlanmama' durumunu analiz edin.
(x1,x2)(x_1, x_2) aralığının (−∞,−3](-\infty, -3] aralığıyla kesişimi boş küme olmalıdır. Bu durum x1≥−3x_1 \ge -3 olmasını gerektirir. Buradan k−1−k+5≥−3  ⟹  k+2≥k+5k-1 - \sqrt{k+5} \ge -3 \implies k+2 \ge \sqrt{k+5} eşitsizliği elde edilir.
Eğer x1<−3x_1 < -3 olsaydı, aralıkta −3-3'ten küçük sayılar bulunurdu ve eşitsizlik bu sayılar için sağlanmış olurdu.
4
Elde edilen −3≤x1<0-3 \le x_1 < 0 eşitsizlik sistemini k değişkeni için çözün ve k tam sayı değerlerini belirleyin.
k−1<k+5k-1 < \sqrt{k+5} eşitsizliğinden −5<k<4-5 < k < 4 elde edilir. k+2≥k+5k+2 \ge \sqrt{k+5} eşitsizliğinden ise k≥−3+132≈0.3k \ge \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \approx 0.3 elde edilir. İki aralığın kesişimi olan [1,4)[1, 4) aralığındaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olup, toplamları 1+2+3=61+2+3=6 olarak bulunur.
Her iki koşulu da aynı anda sağlayan k parametresinin alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi