Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için \int (2x + 1) \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C\neşitliği sağlanmaktadır. f(1) = \frac{3}{2} olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için \int (2x + … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int (2x + 1) \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(1) = \frac{3}{2}$ olduğuna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

A
3
B
4
5Cevap
D
6
E
7

Cevap

f(2) = 5

Verilen integral eşitliğinin her iki yanının türevi alındığında

(2x + 1) f'(x) = (2x+1)(3x-1)

elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında

f'(x) = 3x - 1

olur. Bu ifadenin integrali alındığında

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + C_1

bulunur.

f(1) = \frac{3}{2}

koşulu kullanılarak

C_1 = 1

olarak elde edilir. Buradan fonksiyon

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1

bulunur ve

f(2) = 5

değeri hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

(2x + 1) \cdot f'(x) = 6x^2 + x - 1

Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.

Türev alma sonucu oluşan

6x^2 + x - 1

ifadesi çarpanlarına ayrılır.

(2x + 1) \cdot f'(x) = (2x + 1)(3x - 1)

Eşitliğin her iki tarafındaki ortak çarpanları sadeleştirmek için sağ taraf çarpanlarına ayrılmalıdır.

Her iki taraf

2x + 1

ile sadeleştirilerek

f'(x)

fonksiyonu yalnız bırakılır.

f'(x) = 3x - 1

f(x) fonksiyonunu bulmak için öncelikle türev fonksiyonu olan f'(x) elde edilmelidir.

Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integrali alınarak f(x) fonksiyonu bulunur.

f(x) = \int (3x - 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} - x + C_1

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulanır ve integral sabiti eklenir.

Verilen

f(1) = \frac{3}{2}

başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti

C_1

hesaplanır.

f(1) = \frac{3(1)^2}{2} - 1 + C_1 = \frac{3}{2} \implies C_1 = 1

Fonksiyonun tam kuralını bulabilmek için belirsiz integralden gelen sabit sayı belirlenmelidir.

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1

fonksiyonunda

x = 2

yazılarak istenen değer hesaplanır.

f(2) = \frac{3(2)^2}{2} - 2 + 1 = 6 - 2 + 1 = 5

Soruda bizden istenen f(2) değerini elde etmek için fonksiyonda x yerine 2 yazılır.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral ve integral alma kuralları kullanılarak kendisinin elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru