Her n pozitif tam sayısı için genel terimi a_n = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} olan (a_n) dizisi … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Her

n

pozitif tam sayısı için genel terimi

a_n = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}

olan

(a_n)

dizisi tanımlanıyor.

Buna göre, $\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{1}{5}$ eşitliğini sağlayan $k$ pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevap: 13

Eşitliği sağlayan

k

pozitif tam sayısı 13'tür.

Ardışık terimlerin oranı alındığında üslü ifadeler ve faktöriyel çarpanları sadeleşerek

\frac{3}{k+2}

sonucuna ulaşılır. Bu ifadenin

\frac{1}{5}

'e eşitlenmesiyle

k+2 = 15

k = 13

pozitif tam sayısı elde edilir.

a_k

a_{k+1}

terimlerinin ifadelerini genel terim formülünü kullanarak yazarız.

a_k = \frac{3^{k+1}}{(k+1)!}

a_{k+1} = \frac{3^{k+2}}{(k+2)!}

Ardışık iki terim arasındaki oranı hesaplayabilmek için bu terimlerin açık biçimlerini belirlememiz gerekir.

Elde edilen terimleri oranlayarak sadeleştirme işlemlerini uygularız.

\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{3}{k+2}

Üslü sayılarda bölme kuralı (

3^{k+2} / 3^{k+1} = 3

) ve faktöriyel açılım özelliği (

(k+2)! = (k+2) \cdot (k+1)!

) yardımıyla pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Sadeleşmiş oran��

\frac{1}{5}

değerine eşitleyerek birinci dereceden denklemi çözeriz.

k = 13

\frac{3}{k+2} = \frac{1}{5}

denkleminde içler dışlar çarpımı yapıldığında

k+2 = 15

ve buradan

k = 13

elde edilir.

Bir dizinin genel teriminde değişken yerine indis yazarak terimleri belirleme ve faktöriyel içeren ifadeleri sadeleştirme.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru