\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}} limitinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}}

limitinin değeri kaçtır?

Cevap: 6

Limit değeri 6 olarak bulunur.

Limit noktasında ortaya çıkan

0/0

belirsizliği, pay kısmındaki

x\sqrt{x}-8

ifadesi

(\sqrt{x})^3-2^3

şeklinde iki küp farkı olarak açılıp, paydadaki ifade de

\sqrt{x}

parantezine alınarak sadeleştirildiğinde giderilmektedir. Kalan ifadenin limit değeri yerine koyma yöntemiyle 6 olarak hesaplanır.

Limit noktasını (

x = 4

) ifadede yerine koyarak belirsizlik durumunu incelemek.

\frac{4\sqrt{4} - 8}{4 - 2\sqrt{4}} = \frac{8 - 8}{4 - 4} = \frac{0}{0}

belirsizliği elde edilir.

Limiti hesaplayabilmek için öncelikle belirsizliğin türünü belirlememiz gerekir.

Pay kısmındaki

x\sqrt{x} - 8

ifadesini iki küp farkı özdeşliği (

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

) yardımıyla çarpanlarına ayırmak; payda kısmındaki

x - 2\sqrt{x}

ifadesini ise ortak çarpan parantezine almak.

Pay:

x\sqrt{x} - 8 = (\sqrt{x})^3 - 2^3 = (\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)

ve Payda:

x - 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

Pay ve paydadaki belirsizliğe yol açan ortak

(\sqrt{x} - 2)

çarpanını ortaya çıkarmak.

Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanlarını sadeleştirmek ve ardından limiti doğrudan hesaplamak.

\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x + 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = \frac{4 + 2\sqrt{4} + 4}{\sqrt{4}} = \frac{4 + 4 + 4}{2} = 6

elde edilir.

x \to 4

iken

x \neq 4

olduğundan

\sqrt{x} - 2 \neq 0

olur ve sadeleştirme yapılabilir. Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine koyma yöntemiyle bulunur.

Limitlerde

0/0

belirsizliği durumunda, pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Değişken değiştirme yöntemiyle de çözüm yapılabilir:

\sqrt{x} = t

dönüşümü yapılırsa

x = t^2

olur.

x \to 4

iken

t \to 2

olur. Limit ifadesi

\lim_{t \to 2} \frac{t^3 - 8}{t^2 - 2t}

haline gelir. Bu ifade

\lim_{t \to 2} \frac{(t-2)(t^2+2t+4)}{t(t-2)} = \lim_{t \to 2} \frac{t^2+2t+4}{t} = \frac{12}{2} = 6

şeklinde çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru