Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

f(x)=(a−1)x2−4x+a+2f(x) = (a-1)x^2 - 4x + a + 2 ifadesi veriliyor. Her xx gerçel sayısı için f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin sağlanması amacıyla aa parametresinin alabileceği en geniş değerler kümesi (−∞,−3)∪(2,∞)(-\infty, -3) \cup (2, \infty) olarak verilmiştir. Bu bilgiye göre, verilen bu küme ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen küme ifadesi yanlıştır. Doğru çöz��m kümesi (−∞,−3)(-\infty, -3) olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin tüm gerçel sayılarda negatif değer alması için başkatsayısının negatif ve diskriminantının negatif olması şarttır. Verilen ifadede başkatsayının negatif olma şartı (a<1a < 1) göz ardı edilerek sadece Δ<0\Delta < 0 koşuluna göre çözüm yapılmış ve hatalı bir küme elde edilmiştir. Doğru küme (−∞,−3)(-\infty, -3) olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima negatif olması koşullarını belirleyin.
Başkatsayı negatif (a−1<0a - 1 < 0) ve diskriminant negatif (Δ<0\Delta < 0) olmalıdır.
Grafiğin tamamen x-ekseninin altında kalması için kolların aşağı doğru olması ve ekseni kesmemesi gerekir.
2
Başkatsayı koşulunu çözün.
a−1<0  ⟹  a<1a - 1 < 0 \implies a < 1 bulunur.
Kolların aşağı yönlü olması için başkatsayı negatif olmalıdır.
3
Diskriminant koşulunu hesaplayın.
Δ=(−4)2−4(a−1)(a+2)<0  ⟹  16−4(a2+a−2)<0  ⟹  a2+a−6>0\Delta = (-4)^2 - 4(a-1)(a+2) < 0 \implies 16 - 4(a^2 + a - 2) < 0 \implies a^2 + a - 6 > 0 elde edilir. Eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında (a+3)(a−2)>0(a+3)(a-2) > 0 olur. Buradan a<−3a < -3 veya a>2a > 2 bulunur.
İfadenin gerçel kökünün olmaması için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır.
4
Bulunan iki koşulun kesişimini alın.
a<1a < 1 ile (a<−3a < -3 veya a>2a > 2) kümesinin kesişimi (−∞,−3)(-\infty, -3) aralığıdır.
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiğinden ortak çözüm kümesi aranır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima negatif olma koşulu ve başkatsayı incelemesi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi