Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Her aa gerçel sayısı için, x2−(a−2)x+a2−a+1>0x^2 - (a-2)x + a^2 - a + 1 > 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tüm gerçel sayılardır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Çünkü a=0a = 0 durumunda eşitsizliğin çözüm kümesinde −1-1 sayısı bulunmaz, dolayısıyla çözüm kümesi tüm gerçel sayılar olamaz.
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olması diskriminantın kesinlikle negatif (Δ<0\Delta < 0) olmasına bağlıdır. Hesaplanan Δ=−3a2\Delta = -3a^2 ifadesi a=0a = 0 için sıfıra eşit olduğundan, bu parametre değerinde daima pozitiflik bozulur ve çift katlı kök noktası çözüm kümesini daraltır. Dolayısıyla ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin daima sağlanma koşulunu belirleme
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olması için baş katsayısının pozitif (1>01 > 0) ve diskriminantının kesinlikle negatif (Δ<0\Delta < 0) olması gerekir.
Eğer Δ≥0\Delta \geq 0 olursa, ifadenin gerçel kökü veya kökleri bulunur ve bu köklerde ifade sıfıra eşit veya negatif değerler alabilir.
2
Diskriminantı (Δ\Delta) hesaplama
Δ=[−(a−2)]2−4⋅1⋅(a2−a+1)=a2−4a+4−4a2+4a−4=−3a2\Delta = [-(a-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - a + 1) = a^2 - 4a + 4 - 4a^2 + 4a - 4 = -3a^2
Değişken katsayılarına bağlı diskriminant ifadesini elde ederek işaret analizi yapmak için.
3
Diskriminantın sıfırdan küçük olma durumunu inceleme
−3a2<0-3a^2 < 0 eşitsizliğinin her aa gerçel sayısı için sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir. a=0a = 0 için −3(0)2=0-3(0)^2 = 0 olur, yani Δ<0\Delta < 0 şartı bozulur.
Parametrenin hangi değerlerinde daima pozitiflik şartının sağlanmadığını bulmak için.
4
a=0a = 0 durumunda çözüm kümesini bulma
a=0a = 0 için eşitsizlik x2+2x+1>0⇒(x+1)2>0x^2 + 2x + 1 > 0 \Rightarrow (x+1)^2 > 0 olur. Bu eşitsizlik x=−1x = -1 değeri hariç tüm gerçel sayılar için sağlanır. Çözüm kümesi R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} olur.
Sınır durumu olan a=0a = 0 değerinin çözüm kümesini tüm gerçel sayılar yapmadığını somut olarak göstermek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin tüm gerçel sayılarda daima sağlanması koşulu (Δ<0\Delta < 0 ve a>0a > 0) ve çift katlı kök durumunun çözüm kümesine etkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi