1'den farklı x ve y pozitif gerçel sayıları için, x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16 \log_x … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den farklı $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları için,

x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16

\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{3}{2}

olduğuna göre,

\log_x y + \log_y x

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri olan 19/4 sayısı doğru cevaptır.

İfadenin doğru değeri, taban değiştirme ve logaritma özellikleri sırasıyla uygulanıp elde edilen

u \cdot v = 3

u + v = 9/2

değerlerinin,

\log_x y + \log_y x = \frac{u^2 + v^2}{uv}

ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 19/4 değeridir.

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri sadeleştirmek.

x^{\log_2 y} = y^{\log_2 x}

olduğundan,

x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 2 \cdot y^{\log_2 x} = 16 \implies y^{\log_2 x} = 8

elde edilir.

Taban ile logaritmanın argümanının yer değiştirebilmesi özelliğinden yararlanarak iki terimi tek bir terim cinsinden yazmak.

Elde edilen

y^{\log_2 x} = 8

denkleminin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.

\log_2(y^{\log_2 x}) = \log_2 8 \implies \log_2 x \cdot \log_2 y = 3

bulunur.

Üstel ifadeyi logaritma çarpımı haline getirmek.

İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulamak.

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y}

olduğundan,

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{3}{2}

elde edilir.

Farklı tabanlardaki logaritmaları ortak bir tabana (2 tabanına) dönüştürmek.

Değişken değiştirme yaparak denklem sistemini çözmek.

u = \log_2 x

v = \log_2 y

olsun.

u \cdot v = 3

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{3}{2} \implies \frac{u+v}{uv} = \frac{3}{2} \implies u+v = \frac{9}{2}

elde edilir.

Logaritmik ifadeleri sadeleştirip cebirsel bir sistem kurmak.

İstenen

\log_x y + \log_y x

ifadesini

u

v

cinsinden yazıp hesaplamak.

\log_x y + \log_y x = \frac{v}{u} + \frac{u}{v} = \frac{u^2 + v^2}{uv} = \frac{(u+v)^2 - 2uv}{uv}

olur. Değerler yerine yazıldığında

\frac{(9/2)^2 - 2(3)}{3} = \frac{81/4 - 6}{3} = \frac{57/4}{3} = \frac{19}{4}

bulunur.

Cebirsel özdeşlikler ve taban değiştirme yardımıyla sonuca ulaşmak.

Logaritma Özellikleri ve Taban Değiştirme Kuralları

Soru