x, y ve z 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \log_2 x + \log_4 (yz) = 2 \log… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

y

z

1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_2 x + \log_4 (yz) = 2

\log_3 y + \log_9 (xz) = 2

\log_5 z + \log_{25} (xy) = 2

denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, $\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İstenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.

Verilen denklem sisteminde logaritma taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak değişkenlerin oranları elde edilir. Buradan y/x oranı bulunarak tabanı 1,5 olan logaritma ifadesinin değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Logaritma tabanlarını eşitleme

\log_2(x^2 y z) = 4

\log_3(y^2 x z) = 4

\log_5(z^2 x y) = 4

\log_{a^2} b = \frac{1}{2}\log_a b

\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)

özelliklerini kullanarak her denklemdeki logaritmik ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek.

Logaritmik ifadeleri üslü denklemlere dönüştürme

x^2 y z = 16

y^2 x z = 81

z^2 x y = 625

\log_a b = c \iff a^c = b

tanımını kullanarak denklemleri cebirsel olarak çözülebilir hale getirmek.

Denklemleri taraf tarafa çarpma

(xyz)^4 = 30^4 \implies xyz = 30

Değişkenlerin çarpımını (

xyz

) elde ederek her bir değişkeni ayrı ayrı izole edebilmek.

x

y

değişkenlerini bulma

x = \frac{8}{15}

y = \frac{27}{10}

x^2 y z = x(xyz) = 16

y^2 x z = y(xyz) = 81

eşitliklerinde

xyz = 30

değerini yerine yazmak.

\frac{y}{x}

oranını ve logaritma değerini hesaplama

\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) = 4

\frac{y}{x} = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4

1,5 = \frac{3}{2}

eşitliklerini kullanarak istenen logaritma ifadesinin değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru