a, b ve c 1'den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere, \log_a b + \log_b c + \log_c a = 6 \frac{1}{\log_a b} + \frac{1}{\log_b c} + \frac{1}{\log_c a} = \frac{13}{2}\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \log_a^3 b + \log_b^3 c + \log_c^3 a ifadesinin değeri kaçt��r?

a, b ve c 1'den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere, \log_a b + \log_b c + \log_c a … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a

b

c

1'den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

\log_a b + \log_b c + \log_c a = 6

\frac{1}{\log_a b} + \frac{1}{\log_b c} + \frac{1}{\log_c a} = \frac{13}{2}

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\log_a^3 b + \log_b^3 c + \log_c^3 a

ifadesinin değeri kaçt��r?

Cevap: 102

İstenen ifadenin değeri 102'dir.

Logaritmik ifadeler

x

y

z

değişkenleri ile temsil edildiğinde taban değiştirme kuralından ötürü çarpımları 1 olur. Verilen eşitlikler kullanılarak ikişerli çarpımların toplamı

13/2

olarak elde edilir. Üçlü terimlerin küpleri toplamı özdeşliği kullanıldığında doğru sonuç 102 olarak bulunur.

Logaritma değişken dönüşümlerinin belirlenmesi ve çarpımlarının bulunması

x = \log_a b

y = \log_b c

z = \log_c a

olsun. Taban değiştirme zincir kuralı gereği

x \cdot y \cdot z = 1

olur.

Denklemleri cebirsel değişkenlere indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.

İkinci denklem yardımıyla ikişerli çarpımların toplamının bulunması

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{13}{2} \implies xy + yz + zx = \frac{13}{2}

elde edilir.

Cebirsel özdeşliklerde kullanılacak olan ikişerli çarpım toplamını elde etmek.

Küpler toplamı özdeşliğinin kurulması

x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 3xyz

özdeşliği kurulur.

İstenen ifade olan

x^3 + y^3 + z^3

toplamını bilinen değerler cinsinden ifade etmek.

Değerlerin yerine yazılarak sonucun hesaplanması

6^3 - 3 \cdot 6 \cdot \frac{13}{2} + 3 \cdot 1 = 216 - 117 + 3 = 102

bulunur.

Dört işlem hesaplaması ile nihai sonuca ulaşmak.

Logaritma taban değiştirme özellikleri ve cebirsel özdeşliklerin ortak kullanımı