Examkin

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

76 soru

Tüm türler76Çoktan seçmeli37Sayısal39
Soru 1Soru →
log⁡34⋅log⁡454−log⁡32\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 54 - \log_{3} 2

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Logaritma taban değiştirme kuralı kullanılarak çarpım durumundaki ifade \log_{3} 54 olarak sadeleştirilir. Ardından logaritma çıkarma özelliği ile ifade \log_{3}(54/2) = \log_{3} 27 şekline dönüştürülür. 27 = 3^3 olduğundan işleminin sonucu 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralını (\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c) kullanarak çarpım durumundaki birinci terimi sadeleştirin.
log⁡34⋅log⁡454=log⁡354\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 54 = \log_{3} 54
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri çarpmak için taban değiştirme özelliğinden yararlanılır.
2
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak logaritma çıkarma özelliğini (\log_a x - \log_a y = \log_a(x/y)) uygulayın.
log⁡354−log⁡32=log⁡3(542)=log⁡327\log_{3} 54 - \log_{3} 2 = \log_{3}\left(\frac{54}{2}\right) = \log_{3} 27
Aynı tabana sahip iki logaritmanın farkı, argümanlarının bölümün��n logaritmasına eşittir.
3
Elde edilen ifadenin değerini hesaplayın.
log⁡327=log⁡3(33)=3\log_{3} 27 = \log_{3}(3^3) = 3
27 sayısı 3'ün üçüncü kuvveti olduğundan logaritma tanımı gereği sonuç 3 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 2Soru →
9log⁡35−2log⁡279^{\log_{3} 5} - 2^{\log_{2} 7}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İşlemin sonucu 18'dir.
Verilen ifade logaritmanın üslü özellikleri kullanılarak 25−7=1825 - 7 = 18 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
9log⁡359^{\log_{3} 5} ifadesini basitleştirmek için taban ile logaritmanın argümanını yer değiştirme kuralı olan alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini uygulayalım.
9log⁡35=5log⁡399^{\log_{3} 5} = 5^{\log_{3} 9} elde edilir.
Taban ve argüman yer değiştirilerek ifade bilinen bir tabana indirgenir.
2
log⁡39\log_{3} 9 ifadesinin değerini bulup yerine yazalım.
5log⁡39=52=255^{\log_{3} 9} = 5^2 = 25 elde edilir.
9=329 = 3^2 olduğundan log⁡39=2\log_3 9 = 2 olur.
3
2log⁡272^{\log_{2} 7} ifadesinde taban ve logaritma tabanı aynı olduğundan alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliğini uygulayalım.
2log⁡27=72^{\log_{2} 7} = 7 elde edilir.
Logaritma tabanı ile üslü ifadenin tabanı aynı olduğunda ifade argümanın kendisine eşit olur.
4
Bulunan değerlerin farkını hesaplayalım.
25−7=1825 - 7 = 18 bulunur.
Soruda verilen çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinden alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} ve alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralları
Soru 3Soru →
aa, bb ve cc 1'den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere,
log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca=6\log_a b + \log_b c + \log_c a = 6
1log⁡ab+1log⁡bc+1log⁡ca=132\frac{1}{\log_a b} + \frac{1}{\log_b c} + \frac{1}{\log_c a} = \frac{13}{2}
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
log⁡a3b+log⁡b3c+log⁡c3a\log_a^3 b + \log_b^3 c + \log_c^3 a
ifadesinin değeri kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 102

Cevap

İstenen ifadenin değeri 102'dir.
Logaritmik ifadeler xx, yy, zz değişkenleri ile temsil edildiğinde taban değiştirme kuralından ötürü çarpımları 1 olur. Verilen eşitlikler kullanılarak ikişerli çarpımların toplamı 13/213/2 olarak elde edilir. Üçlü terimlerin küpleri toplamı özdeşliği kullanıldığında doğru sonuç 102 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma değişken dönüşümlerinin belirlenmesi ve çarpımlarının bulunması
x=log⁡abx = \log_a b, y=log⁡bcy = \log_b c, z=log⁡caz = \log_c a olsun. Taban değiştirme zincir kuralı gereği x⋅y⋅z=1x \cdot y \cdot z = 1 olur.
Denklemleri cebirsel değişkenlere indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.
2
İkinci denklem yardımıyla ikişerli çarpımların toplamının bulunması
1x+1y+1z=xy+yz+zxxyz=132  ⟹  xy+yz+zx=132\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{13}{2} \implies xy + yz + zx = \frac{13}{2} elde edilir.
Cebirsel özdeşliklerde kullanılacak olan ikişerli çarpım toplamını elde etmek.
3
Küpler toplamı özdeşliğinin kurulması
x3+y3+z3=(x+y+z)3−3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyzx^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 3xyz özdeşliği kurulur.
İstenen ifade olan x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3 toplamını bilinen değerler cinsinden ifade etmek.
4
Değerlerin yerine yazılarak sonucun hesaplanması
63−3⋅6⋅132+3⋅1=216−117+3=1026^3 - 3 \cdot 6 \cdot \frac{13}{2} + 3 \cdot 1 = 216 - 117 + 3 = 102 bulunur.
Dört işlem hesaplaması ile nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özellikleri ve cebirsel özdeşliklerin ortak kullanımı
Soru 4Soru →

1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,

xlog⁡2y+ylog⁡2x=16x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16
log⁡x2+log⁡y2=32\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{3}{2}
olduğuna göre, log⁡xy+log⁡yx\log_x y + \log_y x ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 194\frac{19}{4}

Cevap

İfadenin değeri olan 19/4 sayısı doğru cevaptır.
İfadenin doğru değeri, taban değiştirme ve logaritma özellikleri sırasıyla uygulanıp elde edilen u⋅v=3u \cdot v = 3 ve u+v=9/2u + v = 9/2 değerlerinin, log⁡xy+log⁡yx=u2+v2uv\log_x y + \log_y x = \frac{u^2 + v^2}{uv} ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 19/4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri sadeleştirmek.
xlog⁡2y=ylog⁡2xx^{\log_2 y} = y^{\log_2 x} olduğundan, xlog⁡2y+ylog⁡2x=2⋅ylog⁡2x=16  ⟹  ylog⁡2x=8x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 2 \cdot y^{\log_2 x} = 16 \implies y^{\log_2 x} = 8 elde edilir.
Taban ile logaritmanın argümanının yer değiştirebilmesi özelliğinden yararlanarak iki terimi tek bir terim cinsinden yazmak.
2
Elde edilen ylog⁡2x=8y^{\log_2 x} = 8 denkleminin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.
log⁡2(ylog⁡2x)=log⁡28  ⟹  log⁡2x⋅log⁡2y=3\log_2(y^{\log_2 x}) = \log_2 8 \implies \log_2 x \cdot \log_2 y = 3 bulunur.
Üstel ifadeyi logaritma çarpımı haline getirmek.
3
İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulamak.
log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} ve log⁡y2=1log⁡2y\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y} olduğundan, 1log⁡2x+1log⁡2y=32\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{3}{2} elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmaları ortak bir tabana (2 tabanına) dönüştürmek.
4
Değişken değiştirme yaparak denklem sistemini çözmek.
u=log⁡2xu = \log_2 x ve v=log⁡2yv = \log_2 y olsun. u⋅v=3u \cdot v = 3 ve 1u+1v=32  ⟹  u+vuv=32  ⟹  u+v=92\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{3}{2} \implies \frac{u+v}{uv} = \frac{3}{2} \implies u+v = \frac{9}{2} elde edilir.
Logaritmik ifadeleri sadeleştirip cebirsel bir sistem kurmak.
5
İstenen log⁡xy+log⁡yx\log_x y + \log_y x ifadesini uu ve vv cinsinden yazıp hesaplamak.
log⁡xy+log⁡yx=vu+uv=u2+v2uv=(u+v)2−2uvuv\log_x y + \log_y x = \frac{v}{u} + \frac{u}{v} = \frac{u^2 + v^2}{uv} = \frac{(u+v)^2 - 2uv}{uv} olur. Değerler yerine yazıldığında (9/2)2−2(3)3=81/4−63=57/43=194\frac{(9/2)^2 - 2(3)}{3} = \frac{81/4 - 6}{3} = \frac{57/4}{3} = \frac{19}{4} bulunur.
Cebirsel özdeşlikler ve taban değiştirme yardımıyla sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Özellikleri ve Taban Değiştirme Kuralları
Soru 5Soru →
xx, yy ve zz 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡2x+log⁡4(yz)=2\log_2 x + \log_4 (yz) = 2
log⁡3y+log⁡9(xz)=2\log_3 y + \log_9 (xz) = 2
log⁡5z+log⁡25(xy)=2\log_5 z + \log_{25} (xy) = 2
denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, log⁡1,5(yx)\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminde logaritma taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak değişkenlerin oranları elde edilir. Buradan y/x oranı bulunarak tabanı 1,5 olan logaritma ifadesinin değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanlarını eşitleme
log⁡2(x2yz)=4\log_2(x^2 y z) = 4, log⁡3(y2xz)=4\log_3(y^2 x z) = 4 ve log⁡5(z2xy)=4\log_5(z^2 x y) = 4
log⁡a2b=12log⁡ab\log_{a^2} b = \frac{1}{2}\log_a b ve log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(bc)\log_a b + \log_a c = \log_a(bc) özelliklerini kullanarak her denklemdeki logaritmik ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek.
2
Logaritmik ifadeleri üslü denklemlere dönüştürme
x2yz=16x^2 y z = 16, y2xz=81y^2 x z = 81 ve z2xy=625z^2 x y = 625
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b tanımını kullanarak denklemleri cebirsel olarak çözülebilir hale getirmek.
3
Denklemleri taraf tarafa çarpma
(xyz)4=304  ⟹  xyz=30(xyz)^4 = 30^4 \implies xyz = 30
Değişkenlerin çarpımını (xyzxyz) elde ederek her bir değişkeni ayrı ayrı izole edebilmek.
4
xx ve yy değişkenlerini bulma
x=815x = \frac{8}{15} ve y=2710y = \frac{27}{10}
x2yz=x(xyz)=16x^2 y z = x(xyz) = 16 ve y2xz=y(xyz)=81y^2 x z = y(xyz) = 81 eşitliklerinde xyz=30xyz = 30 değerini yerine yazmak.
5
yx\frac{y}{x} oranını ve logaritma değerini hesaplama
log⁡1,5(yx)=4\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) = 4
yx=8116=(32)4\frac{y}{x} = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 ve 1,5=321,5 = \frac{3}{2} eşitliklerini kullanarak istenen logaritma ifadesinin değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 6Soru →
1'den farklı xx, yy ve zz pozitif gerçel sayıları için
log⁡x(y2z)=3\log_x(y^2 z) = 3
log⁡y(xz2)=4\log_y(x z^2) = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Logaritma özelliklerinin doğru uygulanması ve doğrusal sistemin çözülmesiyle elde edilen değer 3'tür.
Verilen eşitlikler taban değiştirme kuralı ile çözüldüğünde değişkenlerin logaritmaları arasında a=87ba = \frac{8}{7}b ve c=107bc = \frac{10}{7}b ilişkisi bulunur. İstenen log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesinde bu oranlar yerine yazıldığında sonuç 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritmik ifadeleri taban değiştirme kuralı yardımıyla yazalım.
log⁡x(y2z)=2log⁡y+log⁡zlog⁡x=3\log_x(y^2 z) = \frac{2\log y + \log z}{\log x} = 3
log⁡y(xz2)=log⁡x+2log⁡zlog⁡y=4\log_y(x z^2) = \frac{\log x + 2\log z}{\log y} = 4
Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve çarpım özellikleri kullanılarak ifadeler ortak bir tabana aktarılır.
2
Kolaylık sağlaması amacıyla log⁡x=a\log x = a, log⁡y=b\log y = b ve log⁡z=c\log z = c değişken değiştirmelerini yapalım ve denklemleri düzenleyelim.
2b+c=3a  ⟹  3a−2b−c=02b + c = 3a \implies 3a - 2b - c = 0
a+2c=4b  ⟹  a−4b+2c=0a + 2c = 4b \implies a - 4b + 2c = 0
Logaritmik ifadeleri doğrusal denklem sistemine dönüştürerek çözümü kolaylaştırmak.
3
Birinci denklemden cc değişkenini aa ve bb cinsinden çekip ikinci denklemde yerine yazalım.
c=3a−2bc = 3a - 2b
a+2(3a−2b)=4b  ⟹  7a=8b  ⟹  a=87ba + 2(3a - 2b) = 4b \implies 7a = 8b \implies a = \frac{8}{7}b
Değişkenleri birbirleri cinsinden ifade ederek tek bir değişkene indirgemek.
4
Bulduğumuz a=87ba = \frac{8}{7}b değerini c=3a−2bc = 3a - 2b eşitliğinde yerine yazarak cc değerini de bb cinsinden bulalım.
c=3(87b)−2b=107bc = 3\left(\frac{8}{7}b\right) - 2b = \frac{10}{7}b
Tüm değişkenleri tek bir parametreye (bb) bağlı hale getirmek.
5
İstenen log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesini taban değiştirme kuralı ile a,b,ca, b, c cinsinden yazıp bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
log⁡z(x2y2)=2log⁡x+2log⁡ylog⁡z=2a+2bc\log_z(x^2 y^2) = \frac{2\log x + 2\log y}{\log z} = \frac{2a + 2b}{c}
2(87b)+2b107b=307b107b=3\frac{2\left(\frac{8}{7}b\right) + 2b}{\frac{10}{7}b} = \frac{\frac{30}{7}b}{\frac{10}{7}b} = 3
İstenen ifadeyi ortak tabandaki değişkenler cinsinden hesaplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Verilen eşitlikler üstel fonksiyona dönüştürülerek de çözülebilir: log⁡x(y2z)=3  ⟹  y2z=x3\log_x(y^2 z) = 3 \implies y^2 z = x^3 ve log⁡y(xz2)=4  ⟹  xz2=y4\log_y(x z^2) = 4 \implies x z^2 = y^4 olur. İlk eşitlikten z=x3y2z = \frac{x^3}{y^2} çekilip ikinci eşitlikte yerine yazılırsa x⋅(x3y2)2=y4  ⟹  x7=y8  ⟹  x=y8/7x \cdot \left(\frac{x^3}{y^2}\right)^2 = y^4 \implies x^7 = y^8 \implies x = y^{8/7} elde edilir. Buradan z=y10/7z = y^{10/7} bulunur. İstenen ifade log⁡z(x2y2)=log⁡y10/7(y16/7⋅y2)=log⁡y10/7(y30/7)=30/710/7=3\log_z(x^2 y^2) = \log_{y^{10/7}}(y^{16/7} \cdot y^2) = \log_{y^{10/7}}(y^{30/7}) = \frac{30/7}{10/7} = 3 şeklinde hesaplanır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 7Soru →
log⁡35=a\log_{3} 5 = a olduğuna göre, log⁡1575\log_{15} 75 ifadesinin aa türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2a+1a+1\frac{2a+1}{a+1}

Cevap

İfadenin aa türünden eşiti 2a+1a+1\frac{2a+1}{a+1} olarak bulunur.
Verilen logaritma ifadesi 3 tabanında taban değiştirme kuralı uygulanarak yazıldığında pay kısmı log⁡375\log_3 75, payda kısmı ise log⁡315\log_3 15 olur. 7575 sayısı 52⋅35^2 \cdot 3s\ceklindeyazılıplogaritmakurallarıileac\cıldıg˘ında şeklinde yazılıp logaritma kuralları ile açıldığında 2log⁡35+12\log_3 5 + 1deg˘erinialır.Paydakısmıise değerini alır. Payda kısmı ise 5⋅35 \cdot 3c\carpanlarındandolayı çarpanlarından dolayı log⁡35+1\log_3 5 + 1olur. olur. log⁡35=a\log_3 5 = adeg˘eriyerles\ctirildig˘indedog˘ruoran değeri yerleştirildiğinde doğru oran 2a+1a+1\frac{2a+1}{a+1}$ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen log⁡1575\log_{15} 75 ifadesine 3 tabanında taban değiştirme kuralı uygulanır.
log⁡1575=log⁡375log⁡315\log_{15} 75 = \frac{\log_3 75}{\log_3 15}
Soruda log⁡35\log_3 5 değeri verildiği için ifadeyi 3 tabanına dönüştürmek işlemlerimizi kolaylaştırır.
2
Logaritması alınan 7575 ve 1515 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
75=52⋅375 = 5^2 \cdot 3 ve 15=5⋅315 = 5 \cdot 3
Çarpımın logaritması özelliğini uygulayabilmek için sayılar taban ve bilinen değerler cinsinden çarpanlara ayrılmalıdır.
3
Çarpım ve üs kuralları kullanılarak logaritma ifadeleri açılır.
log⁡375=2log⁡35+log⁡33\log_3 75 = 2\log_3 5 + \log_3 3 ve log⁡315=log⁡35+log⁡33\log_3 15 = \log_3 5 + \log_3 3
log⁡b(x⋅y)=log⁡bx+log⁡by\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y ve log⁡b(xn)=nlog⁡bx\log_b (x^n) = n\log_b x kuralları uygulanmıştır.
4
log⁡35=a\log_3 5 = a ve log⁡33=1\log_3 3 = 1 değerleri elde edilen ifadelerde yerine yazılır.
log⁡375=2a+1\log_3 75 = 2a + 1 ve log⁡315=a+1\log_3 15 = a + 1
Soruda verilen değişken değeri ile temel logaritma özelliği yerleştirilir.
5
Elde edilen değerler oranlanarak sonuca ulaşılır.
2a+1a+1\frac{2a+1}{a+1}
Taban değiştirme kuralı gereği bölme işlemi tamamlanmış olur.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Özelliklerin Uygulanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir xx sayısı için,
xlog⁡23+3log⁡2x−1=12x^{\log_2 3} + 3^{\log_2 x - 1} = 12
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin çözümü sonucunda elde edilen xx değeri 4'tür.
Denklemde yer alan xlog⁡23x^{\log_2 3} terimi, logaritmanın alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} taban-argüman yer değiştirme özelliği kullanılarak 3log⁡2x3^{\log_2 x} şeklinde yazılmıştır. Bu dönüşüm sayesinde denklem 3log⁡2x+3log⁡2x−1=123^{\log_2 x} + 3^{\log_2 x - 1} = 12 haline gelir ve 3log⁡2x⋅(1+1/3)=123^{\log_2 x} \cdot (1 + 1/3) = 12 ortak paranteziyle çözülerek 3log⁡2x=93^{\log_2 x} = 9 bulunur. Buradan log⁡2x=2\log_2 x = 2 ve nihayetinde x=4x = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini denklemdeki ilk terime uygulamak.
xlog⁡23=3log⁡2xx^{\log_2 3} = 3^{\log_2 x} eşitliği elde edilir.
Denklemdeki terimlerin tabanlarını aynı yaparak ortak paranteze alma işlemi uygulayabilmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazıp ortak çarpan parantezine almak.
3log⁡2x+3log⁡2x3=12⇒3log⁡2x(1+13)=12⇒3log⁡2x⋅43=123^{\log_2 x} + \frac{3^{\log_2 x}}{3} = 12 \Rightarrow 3^{\log_2 x} \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 12 \Rightarrow 3^{\log_2 x} \cdot \frac{4}{3} = 12 elde edilir.
Denklemi tek bir üslü ifade cinsinden çözmek için terimler birleştirilir.
3
3log⁡2x=93^{\log_2 x} = 9 denklemini çözerek xx değerini bulmak.
log⁡2x=2⇒x=22=4\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4 elde edilir.
Üslü denklemin tabanları eşitlenerek logaritmalı ifade yalnız bırakılır ve ardından logaritma tanımı uygulanarak xx değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡x(x⋅y)+log⁡y(xy)=3\log_x(x \cdot y) + \log_y\left(\frac{x}{y}\right) = 3
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,
log⁡x2y+log⁡y2x\log_x^2 y + \log_y^2 x
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

İfadenin değeri 7'dir.
Verilen denklemde logaritmanın çarpım ve bölüm özellikleri kullanıldığında 11 ve −1-1 terimleri birbirini yok eder ve log⁡xy+log⁡yx=3\log_x y + \log_y x = 3 eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında ve taban değiştirme kuralı gereği log⁡xy⋅log⁡yx=1\log_x y \cdot \log_y x = 1 olduğu göz önüne alındığında, aranan kareler toplamının değeri 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın çarpım ve bölüm özelliklerini uygulayarak terimleri açın.
log⁡x(x⋅y)=log⁡xx+log⁡xy=1+log⁡xy\log_x(x \cdot y) = \log_x x + \log_x y = 1 + \log_x y
ve
log⁡y(xy)=log⁡yx−log⁡yy=log⁡yx−1\log_y\left(\frac{x}{y}\right) = \log_y x - \log_y y = \log_y x - 1
Çarpım durumundaki ifadeleri toplama, bölüm durumundaki ifadeleri ise farka dönüştürmek için.
2
Elde edilen ifadeleri verilen ana denklemde yerine yazarak sadeleştirin.
(1+log⁡xy)+(log⁡yx−1)=3⇒log⁡xy+log⁡yx=3(1 + \log_x y) + (\log_y x - 1) = 3 \Rightarrow \log_x y + \log_y x = 3
11 ve −1-1 terimleri birbirini sadeleştirerek toplam ifadesini yalnız bırakır.
3
Karesel toplamı elde etmek amacıyla her iki tarafın karesini alın.
(log⁡xy+log⁡yx)2=32(\log_x y + \log_y x)^2 = 3^2
log⁡x2y+2log⁡xy⋅log⁡yx+log⁡y2x=9\log_x^2 y + 2\log_x y \cdot \log_y x + \log_y^2 x = 9
İstenen kareler toplamına ulaşabilmek için tam kare açılımı yapılması gerekir.
4
Taban değiştirme kuralı yardımıyla çarpım teriminin değerini belirleyip sonucu hesaplayın.
log⁡xy⋅log⁡yx=1\log_x y \cdot \log_y x = 1
olduğundan,
log⁡x2y+2(1)+log⁡y2x=9⇒log⁡x2y+log⁡y2x=7\log_x^2 y + 2(1) + \log_y^2 x = 9 \Rightarrow \log_x^2 y + \log_y^2 x = 7
log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b \cdot \log_b a = 1 özelliği gereğince çarpım teriminin değeri 11'dir.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinin uygulanması ve taban değiştirme kuralı
Soru 10Soru →
1'den farklı bir xx pozitif gerçel sayısı için,
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2(x2)⋅log⁡3(x3)+log⁡3(x3)⋅log⁡5(x5)+log⁡5(x5)⋅log⁡2(x2)\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2(x^2) \cdot \log_3(x^3) + \log_3(x^3) \cdot \log_5(x^5) + \log_5(x^5) \cdot \log_2(x^2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx tam sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bu eşitliği sağlayan xx tam sayısı 215⋅310⋅562^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 olup, bu sayının sondan 6 basamağı sıfırdır.
Logaritma kuralları (üs başa çarpım olarak geçer, 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a ve tabanlar aynı olduğunda toplam durumundaki logaritmaların içleri çarpılır) doğru bir şekilde uygulandığında x=215⋅310⋅56x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 olarak bulunur. Bu sayının sondan sıfır sayısı ise çarpanlarındaki 2 ve 5 sayılarından üssü küçük olanına yani 6'ya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın üs özelliğini (log⁡a(xk)=klog⁡ax\log_a(x^k) = k \log_a x) kullanarak denklemdeki terimleri düzenlemek
log⁡2(x2)=2log⁡2x\log_2(x^2) = 2\log_2 x, log⁡3(x3)=3log⁡3x\log_3(x^3) = 3\log_3 x ve log⁡5(x5)=5log⁡5x\log_5(x^5) = 5\log_5 x olarak bulunur.
Denklemdeki karmaşık ifadeleri sadeleştirmek ve ortak çarpanlar elde etmek için.
2
u=log⁡2xu = \log_2 x, v=log⁡3xv = \log_3 x ve w=log⁡5xw = \log_5 x değişken değiştirmelerini yapmak ve denklemde yerine yazmak
u⋅v⋅w=(2u)⋅(3v)+(3v)⋅(5w)+(5w)⋅(2u)u \cdot v \cdot w = (2u) \cdot (3v) + (3v) \cdot (5w) + (5w) \cdot (2u) yani uvw=6uv+15vw+10wuuvw = 6uv + 15vw + 10wu denklemi elde edilir.
Değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi daha kolay görebilmek için.
3
x≠1x \neq 1 olduğundan u,v,w≠0u, v, w \neq 0 olduğunu belirtip denklemin her iki tarafını uvwuvw ifadesine bölmek
1=15u+10v+6w1 = \frac{15}{u} + \frac{10}{v} + \frac{6}{w} denklemi elde edilir.
Değişkenleri rasyonel terimler halinde yazarak taban değiştirme kuralını uygulayabilmek için.
4
Taban değiştirme özelliğini (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) kullanarak terimleri xx tabanında yazmak
1=15log⁡x2+10log⁡x3+6log⁡x51 = 15\log_x 2 + 10\log_x 3 + 6\log_x 5 denklemi elde edilir.
Logaritmaları aynı tabanda birleştirerek tek bir logaritma ifadesi elde etmek için.
5
Logaritmanın toplama ve üs özelliklerini (log⁡ay+log⁡az=log⁡a(yz)\log_a y + \log_a z = \log_a (yz) ve klog⁡ay=log⁡aykk\log_a y = \log_a y^k) kullanarak denklemi çözmek
1=log⁡x(215⋅310⋅56)  ⟹  x=215⋅310⋅561 = \log_x(2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6) \implies x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 bulunur.
xx değerini açık biçimde elde etmek için.
6
x=215⋅310⋅56x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak
Sondan sıfır sayısı, sayının çarpanlarındaki 2 ve 5 sayılarından üssü küçük olanına eşittir. min⁡(15,6)=6\min(15, 6) = 6 basamağı sıfırdır.
Sondan sıfır sayısını bulmak için 10 çarpanının adedini belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve üs özellikleri ile sayılar teorisinde asal çarpanlara ayırma prensiplerinin birlikte kullanımı.
Soru 11Soru →
log⁡34⋅log⁡45⋅log⁡56⋯log⁡n−1n=4\log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{n-1} n = 4

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Eşitliği sağlayan nn değeri 81'dir.
Verilen zincirleme çarpımda taban değiştirme kuralı uygulandığında iç terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca ilk terimin tabanı ile son terimin argümanı kalır. Bu durum log⁡3n=4\log_3 n = 4 eşitliğini verir. Logaritma tanımından n=34=81n = 3^4 = 81 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak çarpımı sadeleştirin.
log⁡3n=4\log_3 n = 4
log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c zincir kuralı gereğince ardışık taban ve argümanlar birbirini sadeleştirir.
2
Elde edilen logaritmik denklemi üstel fonksiyona dönüştürün.
n=34n = 3^4
log⁡ax=y⇔x=ay\log_a x = y \Leftrightarrow x = a^y tanımı gereğince logaritma tabanı karşı tarafa üs tabanı olarak geçer.
3
343^4 üslü ifadesinin değerini hesaplayın.
n=81n = 81
Dört adet 3 sayısının çarpımı (3⋅3⋅3⋅33 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) 81 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Logaritmada taban değiştirme özelliği ve zincir kuralı
Soru 12Soru →
1log⁡2120+1log⁡3120+1log⁡4120+1log⁡5120\frac{1}{\log_{2} 120} + \frac{1}{\log_{3} 120} + \frac{1}{\log_{4} 120} + \frac{1}{\log_{5} 120} işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

1
Taban değiştirme kuralı (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) kullanılarak tüm terimler aynı tabana (120120 tabanına) getirilir. Ardından, aynı tabandaki logaritma toplamlarının çarpım özelliğinden faydalanılarak ifadeler tek bir logaritma altında toplanır ve log⁡120(2⋅3⋅4⋅5)=log⁡120120=1\log_{120} (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = \log_{120} 120 = 1 sonucu elde edilir. Dolayısıyla doğru yanıt 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın taban değiştirme özelliğini kullanarak her bir terimi düzenleyin.
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a kuralı uyarınca ifade log⁡1202+log⁡1203+log⁡1204+log⁡1205\log_{120} 2 + \log_{120} 3 + \log_{120} 4 + \log_{120} 5 hâline gelir.
Paydadaki logaritmik ifadeleri paya taşımak ve tabanlarını eşitlemek için taban değiştirme kuralı uygulanır.
2
Tabanları eşit olan logaritmik ifadelerin toplamını, tek bir logaritma altında çarpım olarak yazın.
log⁡bx+log⁡by=log⁡b(x⋅y)\log_{b} x + \log_{b} y = \log_{b} (x \cdot y) kuralı uyarınca ifade log⁡120(2⋅3⋅4⋅5)=log⁡120120\log_{120} (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = \log_{120} 120 olur.
Aynı tabandaki logaritma toplamlarını tek bir logaritmik ifadeye indirgemek için çarpım özelliği kullanılır.
3
Elde edilen logaritma ifadesinin değerini hesaplayın.
log⁡aa=1\log_{a} a = 1 özelliği gereği log⁡120120=1\log_{120} 120 = 1 bulunur.
Tabanı ve içi aynı olan logaritmanın değerinin 1 olduğunu uygulamak için bu özellik kullanılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Taban Değiştirme ve Çarpım Özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →
log⁡224−1log⁡32\log_{2} 24 - \frac{1}{\log_{3} 2}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşleminin sonucu 3'tür.
Verilen ifadede taban değiştirme özelliği kullanılarak ikinci terim log⁡23\log_{2} 3 olarak yazılır. Tabanları eşit olan iki logaritmanın farkı kuralı uygulandığında log⁡2(243)=log⁡28\log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8 elde edilir. 8=238 = 2^3 eşitliği kullanılarak sonuç 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulama
1log⁡32=log⁡23\frac{1}{\log_{3} 2} = \log_{2} 3
Paydadaki logaritma ifadesini pay kısmına taşımak ve tabanları eşitlemek için 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a kuralı uygulanır.
2
Logaritma farkı özelliğini kullanarak ifadeleri birleştirme
log⁡224−log⁡23=log⁡2(243)=log⁡28\log_{2} 24 - \log_{2} 3 = \log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8
Aynı tabandaki iki logaritmanın farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right).
3
Logaritma değerini hesaplama
log⁡28=log⁡2(23)=3\log_{2} 8 = \log_{2}(2^3) = 3
8 sayısı 2 tabanında üstel biçimde yazılır ve log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n) = n özelliği kullanılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme ve logaritma fark kuralı kullanılarak ifadelerin sadeleştirilmesi.
Soru 14Soru →
2log⁡49+5log⁡25162^{\log_{4} 9} + 5^{\log_{25} 16}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlemin sonucu 7'dir.
Verilen ifadede logaritma taban değiştirme ve üs özellikleri kullanılarak 2log⁡492^{\log_4 9} ifadesi 3'e, 5log⁡25165^{\log_{25} 16} ifadesi ise 4'e eşitlenir. Bu iki değerin toplamı 7 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
2log⁡492^{\log_{4} 9} terimini sadeleştirme
33
log⁡anbn=log⁡ab\log_{a^n} b^n = \log_a b özelliği kullanılarak log⁡49=log⁡23\log_{4} 9 = \log_{2} 3 yazılır, ardından alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralı ile 2log⁡23=32^{\log_{2} 3} = 3 bulunur.
2
5log⁡25165^{\log_{25} 16} terimini sadeleştirme
44
log⁡2516=log⁡54\log_{25} 16 = \log_{5} 4 eşitliği kullanılarak 5log⁡54=45^{\log_{5} 4} = 4 elde edilir.
3
Terimleri toplama
77
Bulunan sadeleşmiş değerler toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Özellikleri: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b ve log⁡anbn=log⁡ab\log_{a^n} b^n = \log_a b
Soru 15Soru →
log⁡35=x\log_{3} 5 = x oldu��una göre, log⁡2515\log_{25} 15 ifadesinin xx türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+12x\frac{x+1}{2x}

Cevap

İfadenin xx türünden eşiti x+12x\frac{x+1}{2x} olarak bulunur.
Doğru cevaba ulaşmak için log⁡2515\log_{25} 15 ifadesi taban değiştirme kuralı yardımıyla 3 tabanına çevrilir. Elde edilen log⁡315log⁡325\frac{\log_3 15}{\log_3 25} ifadesinin pay kısmı log⁡3(3⋅5)=1+log⁡35=1+x\log_3 (3 \cdot 5) = 1 + \log_3 5 = 1 + x olarak, payda kısmı ise log⁡3(52)=2log⁡35=2x\log_3 (5^2) = 2 \log_3 5 = 2x olarak bulunur. Bu değerler oranlandığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi, elimizdeki tabana uygun şekilde 3 tabanında yazmak için taban değiştirme kuralı uygulanır.
log⁡2515=log⁡315log⁡325\log_{25} 15 = \frac{\log_3 15}{\log_3 25}
Soruda log⁡35\log_3 5 ifadesinin değeri verildiği için çözümü 3 tabanına indirgemek kolaylık sağlar.
2
Pay kısmındaki log⁡315\log_3 15 ifadesi, 15=3⋅515 = 3 \cdot 5 çarpımı kullanılarak toplam durumuna getirilir.
log⁡315=log⁡3(3⋅5)=log⁡33+log⁡35=1+x\log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + x
Logaritmanın içindeki çarpım işlemi, logaritmaların toplamı olarak yazılabilir.
3
Payda kısmındaki log⁡325\log_3 25 ifadesi, 25=5225 = 5^2 kuvveti kullanılarak düzenlenir.
log⁡325=log⁡3(52)=2log⁡35=2x\log_3 25 = \log_3(5^2) = 2 \log_3 5 = 2x
Logaritmanın içindeki ifadenin üssü, logaritmanın başına katsayı olarak çarpım durumunda geçer.
4
Elde edilen pay ve payda değerleri taban değiştirme formülünde yerine yazılır.
log⁡2515=log⁡315log⁡325=x+12x\log_{25} 15 = \frac{\log_3 15}{\log_3 25} = \frac{x+1}{2x}
İfadenin en sade ve xx cinsinden nihai biçimine ulaşmak için parçalar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Çarpım/Kuvvet Özellikleri
Soru 16Soru →
log⁡550−1log⁡25\log_{5} 50 - \frac{1}{\log_{2} 5} işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşleminin sonucu 2'dir.
Verilen ifadede taban değiştirme özelliği uygulanarak 1log⁡25\frac{1}{\log_{2} 5} ifadesi log⁡52\log_{5} 2 olarak yazılır. Ardından, tabanları aynı olan logaritmik ifadelerin farkı bölme kuralı yardımıyla log⁡5(502)=log⁡525\log_{5}\left(\frac{50}{2}\right) = \log_{5} 25 haline getirilir. Son olarak, 25=5225 = 5^2 olduğundan log⁡552=2\log_{5} 5^2 = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci terim üzerinde taban değiştirme kuralını uygulayın.
1log⁡25=log⁡52\frac{1}{\log_{2} 5} = \log_{5} 2
log⁡ab=1log⁡ba\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} taban değiştirme özelliği gereğidir.
2
Elde edilen fark işlemini logaritma bölme özelliğine dönüştürün.
log⁡550−log⁡52=log⁡5(502)\log_{5} 50 - \log_{5} 2 = \log_{5}\left(\frac{50}{2}\right)
Aynı tabandaki logaritmaların farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)
3
Argümanı sadeleştirip logaritma değerini hesaplayın.
log⁡525=log⁡5(52)=2\log_{5} 25 = \log_{5}(5^2) = 2
log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n) = n özelliği kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve logaritmik ifadelerin farkını bölme şeklinde yazma özelliği.
Tahmini Süre:45s
Soru 17Soru →
log⁡53⋅log⁡32+log⁡52,5\log_{5} 3 \cdot \log_{3} 2 + \log_{5} 2,5

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen işlemde taban değiştirme kuralı uygulanarak birinci kısım log⁡52\log_{5} 2 olarak bulunur. Ardından aynı tabandaki logaritmaların toplama kuralı gereği içler çarpılır ve log⁡5(2⋅2,5)=log⁡55\log_{5} (2 \cdot 2,5) = \log_{5} 5 elde edilir. Bu ifade de 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım durumundaki logaritmik ifadeleri taban değiştirme özelliğine göre sadeleştirin.
log⁡53⋅log⁡32=log⁡52\log_{5} 3 \cdot \log_{3} 2 = \log_{5} 2
log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_{a} c taban değiştirme kuralı gereğince tabanlar birbirini götürür.
2
Elde edilen ifadeyi diğer terimle toplayın.
log⁡52+log⁡52,5=log⁡5(2⋅2,5)\log_{5} 2 + \log_{5} 2,5 = \log_{5} (2 \cdot 2,5)
Aynı tabandaki logaritma toplamı, içlerin çarpımına eşittir: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x \cdot y)
3
Çarpım sonucunu bulup logaritma değerini hesaplayın.
log⁡55=1\log_{5} 5 = 1
log⁡aa=1\log_{a} a = 1 kuralı gereği taban ile iç eşit olduğunda logaritmanın değeri 1 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme (zincir kuralı) ve toplama özelliklerinin uygulanması.
Soru 18Soru →
log⁡69+2log⁡26\log_{6} 9 + \frac{2}{\log_{2} 6}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritma ifadesi paya taşınmış, katsayı özelliği ile logaritma argümanının üssü olarak yazılmış ve logaritma toplama kuralı uygulanarak sonuç 2 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki logaritma ifadesine taban değiştirme kuralı uygulanır.
2log⁡26=2⋅log⁡62\frac{2}{\log_{2} 6} = 2 \cdot \log_{6} 2 elde edilir.
Toplama işlemini yapabilmek için tüm logaritma ifadelerinin tabanlarını eşitlemek gerekir.
2
Katsayı durumundaki 2 sayısı argümanın üzerine üs olarak taşınır.
2log⁡62=log⁡622=log⁡642\log_{6} 2 = \log_{6} 2^2 = \log_{6} 4 elde edilir.
Logaritma toplama özelliğini doğrudan uygulayabilmek için katsayıyı yok etmek gerekir.
3
Aynı tabana sahip logaritmaların toplama özelliği uygulanır.
log⁡69+log⁡64=log⁡6(9⋅4)=log⁡636\log_{6} 9 + \log_{6} 4 = \log_{6} (9 \cdot 4) = \log_{6} 36 elde edilir.
Toplama durumundaki iki logaritma ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
4
Elde edilen logaritma ifadesinin değeri hesaplanır.
log⁡636=log⁡662=2\log_{6} 36 = \log_{6} 6^2 = 2 bulunur.
Logaritmanın tanımı gereği taban ile argüman arasındaki kuvvet ilişkisini sadeleştirmek.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme ve toplama özellikleri
Soru 19Soru →
1'den büyük xx, yy ve zz gerçel sayıları için
log⁡xy+log⁡zy=132\log_x y + \log_z y = \frac{13}{2}
log⁡yz+log⁡xz=12\log_y z + \log_x z = \frac{1}{2}
olduğuna göre,
log⁡zx+log⁡yx\log_z x + \log_y x
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen denklem sistemine göre, istenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminde değişken değiştirme yöntemi uygulanmış, taban değiştirme kuralları yardımıyla tüm bilinmeyenler tek bir değişken cinsinden ifade edilerek çözülmüştür. Elde edilen değerlerin toplamı 4 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümünün tanımlanması
log⁡xy=a\log_x y = a, log⁡yz=b\log_y z = b ve log⁡zx=c\log_z x = c olsun. Buradan a⋅b⋅c=1a \cdot b \cdot c = 1 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı gereğince farklı tabanlardaki logaritmaların çarpımı sadeleşerek 1 değerini verir.
2
İfadelerin çarpmaya göre terslerinin bulunması
log⁡zy=1b\log_z y = \frac{1}{b}, log⁡xz=1c\log_x z = \frac{1}{c} ve log⁡yx=1a\log_y x = \frac{1}{a} olarak yazılır.
Bir logaritmik ifadede taban ile argüman yer değiştirdiğinde ifadenin çarpmaya göre tersi alınır.
3
Denklem sisteminin değişkenler cinsinden ifade edilmesi
a+1b=132a + \frac{1}{b} = \frac{13}{2} ve b+1c=12b + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} denklemleri elde edilir. İstenen ifade ise c+1ac + \frac{1}{a} toplamıdır.
Verilen denklemlerdeki logaritmik ifadelerin yerine tanımladığımız değişkenler yazılmıştır.
4
Değişkenlerin birbirleri cinsinden yazılması
c=21−2bc = \frac{2}{1-2b} ve a=1−2b2ba = \frac{1-2b}{2b} bağıntıları elde edilir.
İkinci denklemden cc çekilerek a⋅b⋅c=1a \cdot b \cdot c = 1 eşitliğinde yerine yazılmış ve aa elde edilmiştir.
5
Bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması
b=15b = \frac{1}{5}, a=32a = \frac{3}{2} ve c=103c = \frac{10}{3} bulunur.
Bulunan aa bağıntısı birinci denklemde yerine yazılarak bb çözülmüş, ardından bu değerle aa ve cc hesaplanmıştır.
6
İtenen ifadenin hesaplanması
c+1a=103+23=4c + \frac{1}{a} = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = 4 bulunur.
Hesaplanan aa ve cc değerleri istenen toplam formülünde yerine yerleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 20Soru →
1'den farklı aa, bb ve cc pozitif gerçel sayılar�� için
3log⁡ab+2log⁡bc=83\log_a b + 2\log_b c = 8
log⁡ba+log⁡cb=32\log_b a + \log_c b = \frac{3}{2}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡ac\log_a c ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11827\frac{118}{27}

Cevap

11827\frac{118}{27}
Verilen denklem sisteminde logaritmaların taban değiştirme özellikleri kullanılarak değişken dönüştürme yapıldığında, log⁡ac\log_a c ifadesinin alabileceği değerler 22 ve 6427\frac{64}{27} olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 11827\frac{118}{27}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma ifadeleri için değişken dönüşümü tanımlama.
log⁡ab=x\log_a b = x ve log⁡bc=y\log_b c = y olsun. Bu durumda taban değiştirme kuralı gereğince log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} olur.
Denklem sistemini bilinmeyenleri xx ve yy olan cebirsel bir sisteme dönüştürmek için.
2
Verilen eşitlikleri yeni değişkenler cinsinden yazma.
3x+2y=83x + 2y = 8 ve 1x+1y=32\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} denklem sistemi elde edilir.
Çözüm adımlarına geçebilmek için cebirsel ifadeleri düzenlemek.
3
Elde edilen denklem sistemini çözme.
2y=8−3x  ⟹  y=4−32x2y = 8 - 3x \implies y = 4 - \frac{3}{2}x ifadesini ikinci denklemde yerine koyup düzenlediğimizde 9x2−26x+16=09x^2 - 26x + 16 = 0 denklemi elde edilir.
Tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde etmek için yerine koyma metodunu uygulamak.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulma ve yy değerlerini hesaplama.
(x−2)(9x−8)=0(x - 2)(9x - 8) = 0 denkleminin kökleri x1=2x_1 = 2 ve x2=89x_2 = \frac{8}{9}'dur. Buradan sırasıyla y1=1y_1 = 1 ve y2=83y_2 = \frac{8}{3} bulunur.
Her iki durum için log⁡ab\log_a b ve log⁡bc\log_b c değerlerini ayrı ayrı belirlemek.
5
log⁡ac\log_a c ifadesinin değerlerini hesaplama ve toplama.
Taban değiştirme zincir kuralına göre log⁡ac=log⁡ab⋅log⁡bc=x⋅y\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = x \cdot y olur. Birinci durumdan 2⋅1=22 \cdot 1 = 2, ikinci durumdan 89⋅83=6427\frac{8}{9} \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{27} bulunur. Bu değerlerin toplamı 2+6427=118272 + \frac{64}{27} = \frac{118}{27} yapar.
İstenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve zincir kuralı uygulamaları.
Tahmini Süre:3m 0s
Sayfa 1 / 4Sonraki
Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin