Examkin

Soru

Zorluk: OrtaUzanım, Hız ve İvmenin Zamana Göre Değişimi

Denge konumu OO noktası olan ve t=0t = 0 anında denge konumundan pozitif yönde geçerek basit harmonik hareket yapmaya başlayan bir cismin uzanım-zaman (x−tx-t) grafiği şekildeki gibidir.

Cismin hareket periyodu T=12 sT = 12\text{ s} olduğuna göre, hareketin t=1 st = 1\text{ s} anında cismin hareketi ile ilgili;

I. Uzanımı, genliğinin yarısına eşittir.
II. Hız ve ivme vektörleri zıt yönlüdür.
III. Hızının büyüklüğü, maksimum hız büyüklüğünün yarısına eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Uzanımı genliğinin yarısına eşittir ve hız ile ivme vektörleri zıt yönlüdür.
Cismin t=1 st = 1\text{ s} anındaki uzanımı, sinüs fonksiyonunun değeri doğrultusunda genliğinin yarısına (R/2R/2) eşittir. Bu anda cisim denge konumundan uzaklaşmakta olduğu için hız vektörü pozitif yönü gösterirken, ivme vektörü geri çağırıcı özelliğinden ötürü denge konumuna yani negatif yöne doğrudur. Hızın büyüklüğü ise açısal değerin kosinüsüyle orantılı olup maksimum değerinin yarısı değil, kök üç bölü iki katıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Cismin uzanım denklemini yazmak ve belirtilen andaki değerini bulmak.
t=0t = 0 anında denge konumundan pozitif yönde geçen cismin uzanım denklemi x(t)=Rsin⁡(ωt)x(t) = R \sin(\omega t) şeklindedir. Açısal frekans ω=2πT=2π12=π6 rad/s\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\text{ rad/s}'dir. t=1 st = 1\text{ s} anında uzanım x(1)=Rsin⁡(π6)=Rsin⁡(30∘)=R2x(1) = R \sin(\frac{\pi}{6}) = R \sin(30^\circ) = \frac{R}{2} olur. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.
Zamana bağlı uzan��m değişimi sinüs fonksiyonu ile belirlenir.
2
Hız ve ivme vektörlerinin yönlerini belirlemek.
t=1 st = 1\text{ s} anında cisim pozitif bölgededir (x>0x > 0) ve denge konumundan uzaklaşmaktadır (maksimum genliğe t=3 st = 3\text{ s}'de ulaşacaktır). Bu yüzden hız vektörü pozitif yönlüdür (v⃗>0\vec{v} > 0). Basit harmonik harekette ivme vektörü her zaman denge konumuna doğrudur (a⃗=−ω2x⃗\vec{a} = -\omega^2 \vec{x}). Cisim pozitif bölgede olduğundan ivme vektörü negatif yönlüdür (a⃗<0\vec{a} < 0). Bu durumda hız ve ivme vektörleri zıt yönlüdür. Dolayısıyla ikinci öncül doğrudur.
İvme her zaman geri çağırıcı özellikten dolayı denge konumunu gösterir, hız ise hareket yönündedir.
3
Hız büyüklüğünü maksimum hız büyüklüğü cinsinden hesaplamak.
Hız denklemi v(t)=ωRcos⁡(ωt)v(t) = \omega R \cos(\omega t) şeklindedir. Maksimum hız vmaks=ωRv_{\text{maks}} = \omega R olduğuna göre, t=1 st = 1\text{ s} anındaki hız v(1)=vmakscos⁡(π6)=vmakscos⁡(30∘)=32vmaksv(1) = v_{\text{maks}} \cos(\frac{\pi}{6}) = v_{\text{maks}} \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} v_{\text{maks}} olur. Bu değer maksimum hızın yarısı değildir. Dolayısıyla üçüncü öncül yanlıştır.
Hızın zamana göre değişimi kosinüs fonksiyonuna bağlıdır ve uzanımla doğrusal bir ilişkisi yoktur.

Anahtar Kavram

Basit harmonik harekette uzanım, hız ve ivmenin zamana göre sinüzoidal değişimi ve vektörel yön analizleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Uzanım, Hız ve İvmenin Zamana Göre Değişimi

Bu konudan daha fazla soru