(x-2)^2(x^2 - 5x - 6) < 0 eşitsizliğinin gerçel sayılar kümesindeki en geniş çözüm kümesi … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$(x-2)^2(x^2 - 5x - 6) < 0$ eşitsizliğinin gerçel sayılar kümesindeki en geniş çözüm kümesi $[-1, 6] \setminus \{2\}$ kümesidir.

Cevap: Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Eşitsizliğin gerçel sayılardaki en geniş çözüm kümesi

(-1, 6) \setminus \{2\}

olmalıdır.

Eşitsizlik kesin küçüktür (

<

) sembolü içerdiğinden, ifadeyi sıfır yapan sınır değerleri (

x = -1

x = 6

) ile çift katlı kök olan

x = 2

çözüm kümesine dahil edilmemelidir. Dolayısıyla doğru çözüm kümesi

[-1, 6] \setminus \{2\}

değil,

(-1, 6) \setminus \{2\}

açık aralığı olmalıdır.

Eşitsizlikteki çarpanların köklerini bulunuz.

(x-2)^2 = 0 \implies x = 2

(çift katlı kök) ve

x^2 - 5x - 6 = 0 \implies (x-6)(x+1) = 0 \implies x = 6

x = -1

(tek katlı kökler) olarak bulunur.

İşaret tablosunda yer alacak sınır noktalarını ve köklerin tek/çift kat durumlarını belirlemek amacıyla her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.

Kökleri işaret tablosuna yerleştirerek en sağdaki bölgenin işaretini tespit ediniz.

Kökler küçükten büyüğe doğru

-1

2

6

şeklinde sıralanır. Eşitsizlikteki ifadelerin baş katsayılarının işaretleri çarpımı

(+1) \cdot (+1) = +

olduğundan, tablonun en sağ bölgesi (

x > 6

için)

+

işareti ile başlar.

İşaret tablosuna hangi işaretle başlanacağını belirlemek için en büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpılır.

Köklerin kat durumlarına dikkat ederek işaret tablosunu tamamlayınız.

x = 6

tek katlı kökünden geçerken işaret değişir (

-

olur).

x = 2

çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez (

-

olarak kalır).

x = -1

tek katlı kökünden geçerken işaret tekrar değişir (

+

olur).

Tek katlı köklerde işaretin değiştiği, çift katlı köklerde ise işaretin korunduğu kuralı uygulanır.

Eşitsizlik şartını sağlayan bölgeleri belirleyip çözüm kümesini yazınız.

Eşitsizlikte sıfırdan küçük (

< 0

) olan bölgeler istendiği için tablodaki negatif bölgeler seçilir. Bu bölgeler

(-1, 2)

(2, 6)

aralıklarıdır. İki aralığın birleşimi

(-1, 6) \setminus \{2\}

şeklinde yazılır. Eşitsizlikte eşitlik (

=

) durumu bulunmadığı için kök değerleri çözüm kümesine dahil edilmez.

Kesin eşitsizlik durumunda (

<

) sınır değerlerinin ve ifadeyi sıfır yapan köklerin çözüm kümesinden çıkarılması gerekir.

İkinci dereceden eşitsizliklerde çift katlı köklerin ve açık/kapalı aralık sınırlarının işaret tablosunda incelenmesi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru