Bir kenar uzunluğu x birim olan bir karenin alanı, bu karenin çevre uzunluğunun 3 katından… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir kenar uzunluğu $x$ birim olan bir karenin alanı, bu karenin çevre uzunluğunun 3 katından 16 birimkare daha küçüktür.

Buna göre, bu koşulu sağlayan $x$ tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevap: 54

Bu koşulu sağlayan

x

tam sayılarının toplamı 54'tür.

Karenin alanı ile çevresinin 3 katından 16 eksik olan miktar arasındaki ilişki

x^2 - 12x + 16 < 0

eşitsizliğini verir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi

(6 - 2\sqrt{5}, 6 + 2\sqrt{5})

aralığıdır. Yaklaşık olarak

(1.53, 10.47)

aralığında yer alan tam sayılar

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 54 değerini verir.

Karenin alan ve çevre formüllerini yazarak eşitsizliği kurmak.

x^2 < 12x - 16 \implies x^2 - 12x + 16 < 0

eşitsizliği elde edilir.

Problemde verilen sözel ilişkiyi cebirsel eşitsizliğe dönüştürmek için.

Eşitsizlik sınırlarını belirlemek için kökleri bulmak.

x_1 = 6 - 2\sqrt{5}

x_2 = 6 + 2\sqrt{5}

kökleri hesaplanır.

İkinci dereceden ifadenin işaret değiştirdiği kritik noktaları saptamak için.

Köklerin yaklaşık değerlerini bularak aralığı sadeleştirmek.

x_1 \approx 1.53

x_2 \approx 10.47

sınırları ile çözüm aralığı

(1.53, 10.47)

olarak bulunur.

Aralığa dahil olan tam sayı değerlerini kesin olarak belirlemek için.

Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplamak.

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54

toplamına ulaşılır.

Soruda istenen

x

tam sayılarının toplamını bulmak için.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin köklerinin bulunması, aralık analizi ve tam sayı çözümlerinin belirlenmesi.

Soru