Terimleri arasında a_1 = 3 başlangıç koşulu ve her n \geq 1 pozitif tam sayısı için a_{n+1… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Terimleri arasında $a_1 = 3$ başlangıç koşulu ve her $n \geq 1$ pozitif tam sayısı için

a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2 + n}

bağınt��sı bulunan bir $(a_n)$ dizisi verilmektedir.

Buna göre, $a_{20}$ değeri kaçtır?

Dizinin 20. teriminin değeri olan \frac{79}{20} ifadesidir.

Verilen indirgeme bağıntısında

\frac{1}{n^2+n}

ifadesi

\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

biçiminde basit kesirlere ayrıştırılır. Ardından

n=1

değerinden

n=19

değerine kadar terimler yazılıp taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir (teleskopik toplam) ve

a_{20} - a_1 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}

elde edilir.

a_1 = 3

değeri yerine yazılarak

a_{20} = 3 + \frac{19}{20} = \frac{79}{20}

bulunur.

İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlere ayırın.

\frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Teleskopik toplam oluşturarak aradaki terimlerin sadeleşmesini sağlamak amacıyla ifadeyi iki kesrin farkı olarak yazarız.

n değerlerini 1'den 19'a kadar yazarak taraf tarafa toplayın.

n = 1 \implies a_2 - a_1 = 1 - \frac{1}{2}

n = 2 \implies a_3 - a_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}

\vdots

n = 19 \implies a_{20} - a_{19} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20}

a_{20}

terimine ulaşmak için

n=1

ile başlayıp en son

n=19

yazarak

a_{20} - a_{19}

terimini elde etmemiz gerekir.

Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayarak sadeleştirme işlemini gerçekleştirin.

a_{20} - a_1 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}

Sol taraftaki

a_2, a_3, \dots, a_{19}

terimleri birbirini götürür. Sağ tarafta ise ardışık olarak terimler sadeleşir ve geriye sadece ilk ve son terimler kalır.

Başlangıç koşulu olan

a_1 = 3

değerini yerine yazarak

a_{20}

terimini hesaplayın.

a_{20} = a_1 + \frac{19}{20} = 3 + \frac{19}{20} = \frac{79}{20}

Sadeleşme sonrası kalan denklemde bilinmeyen olan

a_{20}

değerini yalnız bırakıp bilinen başlangıç değerini ekleyerek sonuca ulaşırız.

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak terimlerin belirlenmesi.

Soru