Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için \lim_{x \to a} f(x) = 0 v… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ ve $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ limitleri geçerlidir. Buna göre, $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ limitinin sonucunun her zaman bir gerçel sayıya eşit olduğu iddiası doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen iddia yanlıştır. Sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limit her zaman bir gerçel sayıya eşit olmak zorunda değildir, limit mevcut olmayabilir.

İddia yanlıştır çünkü sıfır bölü sıfır belirsizliğinde limitin varlığı garanti edilmez. Karşıt örnekte gösterildiği gibi, limit mevcut olmayabilir.

Adım Adım Çözüm

Belirsizlik durumunun analiz edilmesi

\lim_{x \to a} f(x) = 0

\lim_{x \to a} g(x) = 0

limit değerleri pay ve paydanın sıfıra yaklaştığını gösterir, bu da bir

\frac{0}{0}

belirsizliğidir.

Belirsizlik durumunun türünü netleştirerek hangi limit kurallarının uygulanacağını belirlemek gerekir.

Belirsizliğin kesin bir gerçel sayı üretmediğini göstermek için karşıt örnek seçilmesi

f(x) = x

g(x) = x^2

fonksiyonları ile

a = 0

noktası ele alınır.

\lim_{x \to 0} x = 0

\lim_{x \to 0} x^2 = 0

koşulları sağlanır.

Genel bir iddianın yanlışlığını kanıtlamak için tek bir karşıt örnek yeterlidir.

Seçilen karşıt örnekte limitin hesaplanması

\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}

elde edilir. Bu limitin sağdan değeri

+\infty

, soldan değeri ise

-\infty

olduğundan limit mevcut değildir.

Paydadaki sıfır yapan çarpanın derecesi paydakinden büyük olduğundan sadeleştirme sonrası ifade tanımsızlığa gider ve limit bir gerçel sayı olamaz.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren limitlerin değeri her zaman bir gerçel sayıya eşit olmak zorunda değildir; belirsizlik durumunda limit mevcut olmayabilir veya sonsuz değerler alabilir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru