\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 9} ifadesinin değeri \frac{2}{3}'tür. — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 9}

ifadesinin değeri

\frac{2}{3}

'tür.

Cevap: Cevap

İfade doğrudur. Belirsizlik giderildikten sonra limitin değeri

\frac{2}{3}

olarak bulunur.

Verilen limit işleminde oluşan

0/0

belirsizliği, pay ve payda çarpanlarına ayrılıp

(x-3)

ifadeleri sadeleştirilerek giderildiğinde limit değeri

\frac{2}{3}

bulunur. Bu nedenle ifade doğrudur.

Limit noktası olan

x = 3

değerini fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.

\frac{3^2 - 2(3) - 3}{3^2 - 9} = \frac{9 - 6 - 3}{9 - 9} = \frac{0}{0}

belirsizliği elde edilir.

Doğrudan yerine koyma yöntemi uygulandığında pay ve payda sıfır olduğu için limitin

0/0

belirsizliği durumunda olduğu tespit edilir.

Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanı belirleyin.

Pay:

x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

ve Payda:

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

olarak çarpanlarına ayrılır.

x \to 3

için hem payı hem de paydayı sıfır yapan çarpan

(x - 3)

ifadesidir. Bu çarpanı sadeleştirmek için çarpanlara ayırma yapılır.

Pay ve paydadaki ortak

(x - 3)

çarpanlarını sadeleştirin ve sadeleşmiş ifadeyi yazın.

\frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 1}{x + 3}

Belirsizliğe yol açan ortak çarpan sadeleştirilerek limitin hesaplanabilir bir forma getirilmesi amaçlanır.

Sadeleşmiş ifadede

x

yerine

3

yazarak limit değerini hesaplayın.

\lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{3 + 1}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Belirsizlik ortadan kalktığı için artık doğrudan yerine koyma yöntemiyle limit değeri bulunabilir.

Limitlerde 0/0 Belirsizliği ve Sadeleştirme Yöntemi

Soru