Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİndirgemeli Diziler
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+(−1)n⋅na_{n+1} = a_n + (-1)^n \cdot n
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 50. terimi olan a50a_{50} kaçtır?
  1. A
    -44
  2. B
    -25
  3. -20Cevap
  4. D
    -19
  5. E
    30

Cevap

-20
Verilen indirgeme bağıntısında terimler yalnız bırakılıp taraf tarafa toplandığında a50−a1=−25a_{50} - a_1 = -25 eşitliği elde edilir. Burada ilk terim olan 55 değeri yerine yazıldığında a50=−20a_{50} = -20 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını ardışık terimlerin farkı şeklinde yazın.
an+1−an=(−1)n⋅na_{n+1} - a_n = (-1)^n \cdot n
Teleskobik (zincirleme) sadeleştirme yapabilmek için terimleri bir tarafa toplarız.
2
nn değişkenine 1'den 49'a kadar olan tam sayı değerlerini sırayla vererek denklemleri yazın.
n=1  ⟹  a2−a1=−1n=1 \implies a_2 - a_1 = -1
n=2  ⟹  a3−a2=2n=2 \implies a_3 - a_2 = 2
n=3  ⟹  a4−a3=−3n=3 \implies a_4 - a_3 = -3
n=4  ⟹  a5−a4=4n=4 \implies a_5 - a_4 = 4
...
n=49  ⟹  a50−a49=−49n=49 \implies a_{50} - a_{49} = -49
a50a_{50} terimine ulaşmak için nn'in sınır değerlerini belirleriz.
3
Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayın.
a50−a1=−1+2−3+4−5+6−⋯−49a_{50} - a_1 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \dots - 49
Sol taraftaki ara terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca a50a_{50} ve a1a_1 kalır.
4
Sağ taraftaki ardışık terimleri ikişerli gruplayarak toplamı hesaplayın.
(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−47+48)−49=24⋅1−49=−25(-1 + 2) + (-3 + 4) + \dots + (-47 + 48) - 49 = 24 \cdot 1 - 49 = -25
Toplamda 1'den 48'e kadar olan sayılardan oluşan 24 adet grup vardır ve her grubun toplamı 1'dir. Sondaki -49 terimi gruptan hariç tutulur.
5
a1=5a_1 = 5 değerini yerine yazarak a50a_{50} değerini bulun.
a50−5=−25  ⟹  a50=−20a_{50} - 5 = -25 \implies a_{50} = -20
Bulunan fark değerine ilk terim eklenerek hedef terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde terim farklarının teleskobik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin değerinin bulunması.

Alternatif Yöntem

Dizinin genel terimini tek ve çift indisler için ayrı ayrı formülize ederek de sonuca ulaşabiliriz. nn tek sayı iken ana_n terimleri ile nn çift sayı iken ana_n terimleri arasındaki örüntü incelendiğinde, çift indisler için a2k=5−ka_{2k} = 5 - k genel terimi elde edilir. a50a_{50} için 2k=50  ⟹  k=252k = 50 \implies k = 25 yazılırsa, a50=5−25=−20a_{50} = 5 - 25 = -20 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İndirgemeli Diziler

Bu konudan daha fazla soru