Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

aa bir gerçel sayı olmak üzere, x2−2ax+a+6>0x^2 - 2ax + a + 6 > 0 eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlandığına göre, aa parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 22'dir.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade doğrudur. Çünkü verilen eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantın negatif olması gerekir. Buradan elde edilen a2−a−6<0a^2 - a - 6 < 0 eşitsizliğinin ç��züm kümesi (−2,3)(-2, 3) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 22'dir.
Verilen ifade doğrudur çünkü x2−2ax+a+6>0x^2 - 2ax + a + 6 > 0 eşitsizliğinin her gerçel sayı için sağlanması diskriminantın sıfırdan küçük olması koşuluna bağlıdır. Bu koşuldan elde edilen (−2,3)(-2, 3) aralığındaki tam sayıların toplamı gerçekten 22 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Daima pozitiflik şartını belirleme
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olması için başkatsayısının pozitif (1>01 > 0) ve diskriminantının negatif (Δ<0\Delta < 0) olması gerekir.
Fonksiyonun grafiğinin xx ekseninin tamamen üstünde kalması ve ekseni kesmemesi için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır.
2
Diskriminantı hesaplama ve eşitsizliği oluşturma
Δ=(−2a)2−4⋅1⋅(a+6)<0⇒4a2−4a−24<0\Delta = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 6) < 0 \Rightarrow 4a^2 - 4a - 24 < 0
aa, bb, cc katsayıları kullanılarak b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0 formülü uygulanır.
3
Eşitsizliği sadeleştirme ve çarpanlarına ayırma
a2−a−6<0⇒(a−3)(a+2)<0a^2 - a - 6 < 0 \Rightarrow (a - 3)(a + 2) < 0
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve işaret incelemesi yapmak için çarpanlarına ayrılır.
4
İşaret tablosu yard��mıyla çözüm aralığını bulma ve tam sayıları toplama
Kökler a=−2a = -2 ve a=3a = 3'tür. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−2,3)(-2, 3) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar −1,0,1,2-1, 0, 1, 2 olup toplamları 22'dir.
Aralıktaki tam sayı değerleri toplanarak ifadenin doğruluğu test edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olma şartı ve diskriminant analizi

İpuçları

1
Bir ikinci dereceden ifadenin daima pozitif olması için x2x^2'li terimin katsayısının işareti ile diskriminantın (Δ\Delta) işaretini düşünün.
2
Δ<0\Delta < 0 eşitsizliğini kurun ve bu eşitsizliği aa değişkenine bağlı ikinci dereceden bir eşitsizlik olarak çözün.
3
a2−a−6<0a^2 - a - 6 < 0 eşitsizliğinin köklerini bulup işaret tablosu oluşturarak aa'nın değer aralığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, ifadenin daima negatif olması veya daima sıfırdan büyük ya da eşit olması durumlarında diskriminantın nasıl inceleneceğini çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Grafiksel olarak, y=x2−2ax+a+6y = x^2 - 2ax + a + 6 parabolünün daima xx ekseninin üzerinde kalması için tepe noktasının koordinatlarından k>0k > 0 olmalıdır. r=−−2a2=ar = -\frac{-2a}{2} = a ve k=f(a)=a2−2a2+a+6=−a2+a+6>0⇒a2−a−6<0k = f(a) = a^2 - 2a^2 + a + 6 = -a^2 + a + 6 > 0 \Rightarrow a^2 - a - 6 < 0 eşitsizliği elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi