Examkin

Soru

Zorluk: ZorGeometrik Dizi ve Özellikleri
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
log⁡2(a1)+log⁡2(a15)=12\log_2(a_1) + \log_2(a_{15}) = 12
log⁡2(a5)⋅log⁡2(a11)=32\log_2(a_5) \cdot \log_2(a_{11}) = 32
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ikinci terimi (a2a_2) kaçtır?
  1. A
    1
  2. 4Cevap
  3. C
    64
  4. D
    1024
  5. E
    14\frac{1}{4}

Cevap

Dizinin ikinci terimi 4'tür.
Geometrik dizinin terimlerinin 2 tabanındaki logaritması alındığında ortak farkı d=log⁡2(r)d = \log_2(r) olan bir aritmetik dizi elde edilir. Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşit olduğundan x1+x15=x5+x11=12x_1 + x_{15} = x_5 + x_{11} = 12 olur. Çarpımları da 32 olarak verildiğinden, bu iki terim t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için x5=4x_5 = 4 ve x11=8x_{11} = 8 bulunur. Buradan ortak fark d=2/3d = 2/3 ve dizinin ikinci teriminin logaritması x2=x5−3d=2x_2 = x_5 - 3d = 2 elde edilir. Sonuç olarak a2=22=4a_2 = 2^2 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma dönüşümü ile geometrik diziyi aritmetik diziye dönüştürme
xn=log⁡2(an)x_n = \log_2(a_n) tanımlanırsa, (xn)(x_n) dizisi bir aritmetik dizi belirtir. Dizinin ortak farkı d=log⁡2(r)d = \log_2(r) olur. (an)(a_n) dizisi pozitif terimli ve artan olduğundan r>1r > 1 ve dolayısıyla d>0d > 0'dır.
Geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir. Her iki tarafın 2 tabanında logaritması alındığında log⁡2(an)=log⁡2(a1)+(n−1)log⁡2(r)\log_2(a_n) = \log_2(a_1) + (n-1)\log_2(r) elde edilir. Bu da aritmetik dizi formülüdür.
2
Aritmetik dizi özelliklerini kullanarak terimler arası ilişkileri belirleme
x1+x15=12x_1 + x_{15} = 12 eşitliği kullanılarak x5+x11=12x_5 + x_{11} = 12 elde edilir.
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (1+15=5+11=161 + 15 = 5 + 11 = 16 olduğundan x1+x15=x5+x11x_1 + x_{15} = x_5 + x_{11} olur).
3
İkinci dereceden denklem kurup çözerek x5x_5 ve x11x_{11} terimlerini bulma
x5+x11=12x_5 + x_{11} = 12 ve x5⋅x11=32x_5 \cdot x_{11} = 32 denklemlerinden x5=4x_5 = 4 ve x11=8x_{11} = 8 bulunur.
Toplamları 12 ve çarpımları 32 olan sayılar, t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleridir. Bu denklem (t−4)(t−8)=0(t-4)(t-8) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Dizi artan olduğundan x5<x11x_5 < x_{11} olmalıdır.
4
Aritmetik dizinin ortak farkını (dd) ve hedef terim x2x_2'yi bulma
d=23d = \frac{2}{3} ve x2=2x_2 = 2 bulunur.
x11=x5+6d  ⟹  8=4+6d  ⟹  6d=4  ⟹  d=23x_{11} = x_5 + 6d \implies 8 = 4 + 6d \implies 6d = 4 \implies d = \frac{2}{3} olur. Buradan x2=x5−3d=4−3(23)=2x_2 = x_5 - 3d = 4 - 3\left(\frac{2}{3}\right) = 2 elde edilir.
5
Bulunan değeri geometrik dizi terimine geri dönüştürme
a2=4a_2 = 4 olarak bulunur.
x2=log⁡2(a2)=2  ⟹  a2=22=4x_2 = \log_2(a_2) = 2 \implies a_2 = 2^2 = 4 olur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin logaritmasının aritmetik dizi oluşturması ve aritmetik dizi terimlerinin simetri özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru