a ve b gerçel sayılar olmak üzere, \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 2x} = b\neşitliği sağlandığına göre, a \cdot b = \frac{5}{6}'dır.

a ve b gerçel sayılar olmak üzere, \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 2x} = b\… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a

b

gerçel sayılar olmak üzere,

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 2x} = b

eşitliği sağlandığına göre,

a \cdot b = \frac{5}{6}

'dır.

Cevap: Cevap

İfade yanlıştır. Doğru çarpım değeri

a \cdot b = \frac{5}{3}

olmalıdır.

Limitin sıfırdan farklı bir

b

gerçel sayısına eşit olması için payın da sıfır olması gerektiğinden

a = 5

bulunur. Eşlenik çarpımı yapılarak belirsizlik çözüldüğünde

b = \frac{1}{3}

elde edilir. Dolayısıyla

a \cdot b = \frac{5}{3}

olmalıdır. Bu nedenle önerme yanlıştır.

Paydanın limitini inceleyerek belirsizlik türünü tespit etmek.

x \to 2

için payda olan

x^2 - 2x

ifadesinin limiti

2^2 - 2(2) = 0

olur. Limitin bir gerçel sayıya eşit olması için payın limiti de sıfır olmalı ve

0/0

belirsizliği oluşmalıdır.

Payda sıfıra yaklaşırken pay sıfırdan farklı bir sayıya yaklaşırsa limit tanımsız olur.

Payın limitini sıfıra eşitleyerek

a

parametresini bulmak.

\lim_{x \to 2} (\sqrt{x^2 + a} - 3) = 0 \implies \sqrt{4 + a} - 3 = 0 \implies 4 + a = 9 \implies a = 5

bulunur.

Kareköklü ifade

x = 2

noktasında tanımlı ve sürekli olduğundan limiti doğrudan fonksiyon değerine eşittir.

a

değerini yerine yazıp limit belirsizliğini eşlenik yardımıyla çözmek ve

b

değerini bulmak.

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \frac{2 + 2}{2(\sqrt{9} + 3)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

elde edilir. Buradan

b = \frac{1}{3}

bulunur.

0/0

belirsizliğini gidermek için payı eşleniğiyle çarparak belirsizliğe neden olan

(x - 2)

çarpanı sadeleştirilir.

a \cdot b

çarpımını hesaplayarak ifadenin doğruluğunu kontrol etmek.

a \cdot b = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}

olarak bulunur. İfadede verilen

\frac{5}{6}

değeri yanlış olduğundan önerme yanlıştır.

Elde edilen gerçek limit değeri ile ifadedeki değer uyuşmamaktadır.

Sıfır bölü sıfır belirsizliğinde eşlenik çarpımı ile belirsizliğin giderilmesi ve parametre hesabı