Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları için her x g… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için her $x$ gerçel sayısı için $g(x) \neq 0$ ’dır.

$h(x) = f(x) \cdot g(x)$

$k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

olmak üzere, her $x$ gerçel sayısı için

h'(x) + [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 12x^2 + 4

h'(x) - [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 8x

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 18

İstenen

f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2)

ifadesinin değeri 18'dir.

Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm türevleri alındığında cebirsel düzenlemeler ile

f'(x)g(x) = 6x^2 + 2

f(x)g'(x) = 4x

eşitliklerine ulaşılır.

x=2

için bu ifadeler sırasıyla 26 ve 8 değerlerini alır. İstenen fark hesaplandığında 18 cevabına ulaşılır.

Çarpım ve bölüm türevi kurallarını kullanarak

h'(x)

k'(x)

türevlerini yazın.

h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Soruda verilen fonksiyon bileşenlerinin türevlerini cebirsel olarak ifade etmek için bu kurallar gereklidir.

k'(x)

ifadesini

[g(x)]^2

ile çarparak sadeleştirin.

[g(x)]^2 \cdot k'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)

Bölüm türevinin paydasındaki

[g(x)]^2

terimini sadeleştirmek için bu işlem uygulanır.

Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak

f'(x)g(x)

ifadesini yalnız bırakın.

2f'(x)g(x) = 12x^2 + 4 \implies f'(x)g(x) = 6x^2 + 2

Toplama işlemiyle

-f(x)g'(x)

+f(x)g'(x)

terimleri birbirini sıfırlar.

Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak

f(x)g'(x)

ifadesini yalnız bırakın.

2f(x)g'(x) = 8x \implies f(x)g'(x) = 4x

Çıkarma işlemiyle

f'(x)g(x)

terimleri birbirini sıfırlar.

x = 2

yazarak elde edilen değerlerin farkını hesaplayın.

f'(2)g(2) - f(2)g'(2) = 26 - 8 = 18

x=2

için

f'(2)g(2) = 26

f(2)g'(2) = 8

değerleri bulunur ve farkları alınır.

Çarpım ve bölüm türevi kurallarının cebirsel denklem sistemlerinde uygulanması

Soru