Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
x2⋅f(x)=∫(4x3−3x2+2x⋅f(x))dxx^2 \cdot f(x) = \int \left( 4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x) \right) dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    10
  3. C
    11
  4. 12Cevap
  5. E
    27

Cevap

Doğru yanıt 12 sayısıdır.
Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında, sol tarafta çarpımın türevi uygulanarak 2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) ifadesi elde edilir. Sağ tarafta ise integralin türevi kendisi olduğundan 4x3−3x2+2x⋅f(x)4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x) ifadesi kalır. Karşılıklı terimler sadeleştiğinde f′(x)=4x−3f'(x) = 4x - 3 bulunur. Bu ifadenin integrali f(x)=2x2−3x+Cf(x) = 2x^2 - 3x + C olur. f(1)=2f(1) = 2 bilgisi kullanılarak C=3C = 3 bulunur. Dolayısıyla f(x)=2x2−3x+3f(x) = 2x^2 - 3x + 3 fonksiyonunda x=3x = 3 yazıldığında sonuç 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)=4x3−3x2+2x⋅f(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x)
İntegral işlemini tersine çevirmek için türev alınır. Sol tarafta çarpımın türevi kuralı uygulanırken, sağ tarafta belirsiz integralin türevi kendisini verir.
2
Elde edilen denklem sadeleştirilir ve türev fonksiyonu yalnız bırakılır.
x2⋅f′(x)=4x3−3x2  ⟹  f′(x)=4x−3x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 3x^2 \implies f'(x) = 4x - 3
Eşitliğin her iki tarafındaki 2x⋅f(x)2x \cdot f(x) terimleri sadeleşir. x≠0x \neq 0 için her iki taraf x2x^2 ile bölünür. Fonksiyon türevlenebilir olduğundan bu eşitlik tüm gerçel sayılarda geçerlidir.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralı yazılır.
f(x)=∫(4x−3) dx=2x2−3x+Cf(x) = \int (4x - 3) \, dx = 2x^2 - 3x + C
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulanır.
4
f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti CC bulunur.
f(1)=2(1)2−3(1)+C=2  ⟹  −1+C=2  ⟹  C=3f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + C = 2 \implies -1 + C = 2 \implies C = 3
Belirsiz integralden gelen CC sabitini netleştirmek için verilen nokta denklemde yerine yazılır.
5
Kuralı belirlenen f(x)=2x2−3x+3f(x) = 2x^2 - 3x + 3 fonksiyonunda x=3x = 3 yazılarak f(3)f(3) değeri hesaplanır.
f(3)=2(3)2−3(3)+3=18−9+3=12f(3) = 2(3)^2 - 3(3) + 3 = 18 - 9 + 3 = 12
Soruda bizden istenen f(3)f(3) değerine ulaşmak amaçlanmıştır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevi ile ilişkisi, çarpımın türevi kuralı ve integral sabiti hesabı.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru