Examkin

Soru

Zorluk: ZorSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1)
f(x)=1x2−mx+9f(x) = \frac{1}{x^2 - mx + 9}

fonksiyonları tanımlanıyor.

(f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonu her xx gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, mm parametresinin [−10,10][-10, 10] kapalı aralığında alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. -40Cevap
  2. B
    -34
  3. C
    0
  4. D
    15
  5. E
    40

Cevap

Doğru yanıt −40-40 değeridir.
Bileşke fonksiyonun her yerde sürekli olması için dıştaki fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerlerin, içteki fonksiyonun alabileceği değerler kümesinde bulunmaması gerekir. İçteki logaritmik fonksiyonun en küçük değeri 00 olduğundan, paydanın [0,∞)[0, \infty) aralığında kökü olmamalıdır. Bu durum diskriminantın negatif olması veya köklerin her ikisinin de negatif olması (m<6m < 6) durumunda gerçekleşir. Belirtilen aralıktaki tam sayıların toplamı ise −40-40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonunun süreklilik şartını belirleme
(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için sürekli olması için, her yerde tanımlı ve sürekli olan g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1) altındaki görüntüler için f(u)=1u2−mu+9f(u) = \frac{1}{u^2 - mu + 9} fonksiyonunun paydası olan u2−mu+9u^2 - mu + 9 ifadesinin hiçbir zaman sıfır olmaması gerekir.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarını sıfır yapan değerlerde tanımsızdır ve bu noktalarda süreksiz olurlar.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun görüntü kümesini bulma
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için x2≥0  ⟹  x2+1≥1x^2 \geq 0 \implies x^2 + 1 \geq 1 olur.
Logaritma fonksiyonunun artanlık özelliğinden,
u=ln⁡(x2+1)≥ln⁡(1)=0u = \ln(x^2 + 1) \geq \ln(1) = 0 elde edilir.
Yani u∈[0,∞)u \in [0, \infty) aralığındadır.
İçteki fonksiyon olan g(x)g(x) ifadesinin alabileceği değerler kümesi, dıştaki ff fonksiyonunun tanım kümesi ile eşleşmelidir.
3
Paydayı sıfır yapan denklem için koşulları belirleme
u2−mu+9=0u^2 - mu + 9 = 0 denkleminin [0,∞)[0, \infty) aralığında hiçbir gerçek kökünün olmaması gerekir.
Bunun gerçekleşmesi için iki durum mevcuttur:
Durum 1: Denklemin hiçbir gerçek kökü yoktur (diskriminant negatiftir).
Durum 2: Denklemin gerçek kökleri vardır fakat bu köklerin ikisi de negatiftir.
Eğer denklemin kökleri negatifse veya gerçek kökü yoksa, negatif olmayan uu değerleri için payda hiçbir zaman sıfır olamaz.
4
Belirlenen durumlar için eşitsizlikleri çözme
Durum 1: Δ=m2−36<0  ⟹  −6<m<6\Delta = m^2 - 36 < 0 \implies -6 < m < 6 olur.
Durum 2: Δ≥0  ⟹  m≤−6\Delta \geq 0 \implies m \leq -6 veya m≥6m \geq 6 olmalıdır.
Köklerin ikisinin de negatif olması için kökler toplamı u1+u2=m<0u_1 + u_2 = m < 0 ve kökler çarpımı u1⋅u2=9>0u_1 \cdot u_2 = 9 > 0 (zaten sağlanır) olmalıdır.
Bu koşulların kesişiminden m≤−6m \leq -6 elde edilir.
Her iki durumun birleşiminden m<6m < 6 aralığı bulunur.
Her iki durum da paydanın sıfır olmasını engellediği için bu iki koşulun birleşimi alınır.
5
[−10,10][-10, 10] aralığındaki tam sayıların toplamını hesaplama
m<6m < 6 koşulunu sağlayan [−10,10][-10, 10] aralığındaki tam sayılar:
−10,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 değerleridir.
Bu sayıların toplamı:
(−10)+(−9)+(−8)+(−7)+(−6)+(−5)+⋯+5=−40(-10) + (-9) + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + \dots + 5 = -40 olarak bulunur.
−5-5 ile 55 arasındaki sayılar birbirini sadeleştirir ve geriye sadece −10-10 ile −6-6 arasındaki sayıların toplamı kalır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve ikinci dereceden denklemlerin köklerinin işaret incelemesi
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru