Examkin

Soru

Zorluk: KolayLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
f(x)=x2−kx+12x−4f(x) = \frac{x^2 - kx + 12}{x - 4}

fonksiyonunun x=4x = 4 noktasındaki limiti bir gerçel sayıya eşittir.

Buna göre, bu limitin değeri kaçtır?

  1. 1Cevap
  2. B
    3
  3. C
    5
  4. D
    7
  5. E
    9

Cevap

Limitin değeri 1'dir.
Limitin bir gerçel sayıya eşit olması için payda sıfıra giderken payın da sıfıra gitmesi gerekir. Buradan k = 7 olarak bulunur. Fonksiyon f(x) = (x - 4)(x - 3) / (x - 4) şeklinde yazılıp x - 4 terimleri sadeleştirildiğinde, limit x -> 4 için x - 3 ifadesinin değeri 4 - 3 = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın sıfır olduğu durumda limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın da sıfır olması gerektiği belirlenir.
x = 4 için x^2 - kx + 12 = 0 olmalıdır.
Eğer pay sıfırdan farklı bir sayı olsaydı, payda sıfır olduğundan limit tanımsız veya sonsuz olurdu. Limit değerinin gerçel sayı olabilmesi için 0/0 belirsizliği oluşmalıdır.
2
x = 4 değeri pay ifadesinde yerine yazılarak k parametresi hesaplanır.
4^2 - 4k + 12 = 0 => 16 - 4k + 12 = 0 => 28 - 4k = 0 => k = 7 olarak bulunur.
Fonksiyonun payındaki bilinmeyen k parametresini bularak belirsizliği gidermek üzere çarpanlara ayırma aşamasına geçebilmek için.
3
Bulunan k değeri fonksiyonda yerine yazılır ve pay ifadesi çarpanlarına ayrılır.
f(x) = (x^2 - 7x + 12) / (x - 4) = ((x - 4)(x - 3)) / (x - 4) = x - 3 (x != 4 için)
0/0 belirsizliğine neden olan x - 4 ortak çarpanını sadeleştirmek için.
4
Sadeleştirilmiş ifadede x yerine limit değeri olan 4 yazılarak limit hesaplanır.
limit x -> 4 (x - 3) = 4 - 3 = 1 olarak bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limitin nihai değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda payın sıfıra eşit olması ilkesinden yararlanarak bilinmeyen parametreyi bulma ve çarpanlara ayırma yöntemiyle belirsizliği giderme.
Tahmini Süre:50s
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru