Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−(m−1)x+m+2≤0x^2 - (m-1)x + m + 2 \le 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,
I. m=−1m = -1 için eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
II. m∈(−1,7)m \in (-1, 7) için eşitsizliğin gerçel sayılardaki ç��züm kümesi boş kümedir.
III. m>7m > 7 için eşitsizliği sağlayan en az bir tane negatif xx gerçel sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
Doğru seçenek olan 'I ve II' ifadelerinin kesin doğruluğu şu şekilde ispatlanır: m=−1m = -1 iken ifade (x+1)2≤0(x+1)^2 \le 0 biçimine dönüşür ve bunu sağlayan tek değer x=−1x = -1 olup çözüm kümesi tek elemanlıdır (I doğru). m∈(−1,7)m \in (-1, 7) aralığında diskriminant negatif ve başkatsayı pozitif olduğu için ifade daima pozitiftir ve sıfıra eşit ya da küçük olamaz; çözüm kümesi boş kümedir (II doğru). m>7m > 7 için köklerin toplamı ve çarpımı pozitif olduğundan her iki kök de pozitiftir, bu yüzden çözüm kümesinde negatif sayı yer alamaz (III yanlış).

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin diskriminantını (Δ\Delta) hesaplayın.
Δ=[−(m−1)]2−4⋅1⋅(m+2)=m2−2m+1−4m−8=m2−6m−7=(m−7)(m+1)\Delta = [-(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+2) = m^2 - 2m + 1 - 4m - 8 = m^2 - 6m - 7 = (m-7)(m+1) elde edilir.
İkinci dereceden ifadenin köklerinin varlığı ve çözüm kümesinin yapısı diskriminantın işaretine bağlıdır.
2
I. öncül için m=−1m = -1 değerini yerine yazarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
m=−1m = -1 için Δ=(−1−7)(−1+1)=0\Delta = (-1-7)(-1+1) = 0 olur. Eşitsizlik x2+2x+1≤0  ⟹  (x+1)2≤0x^2 + 2x + 1 \le 0 \implies (x+1)^2 \le 0 halini alır. Karesi sıfırdan küçük veya eşit olan tek gerçel sayı x=−1x = -1 olduğundan çözüm kümesi {−1}\{-1\} olup tek elemanlıdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Diskriminant sıfır olduğunda çift katlı kök oluşur ve eşitsizlikte eşitlik de arandığı için çözüm kümesi tek elemanlı olur.
3
II. önc��l için m∈(−1,7)m \in (-1, 7) aralığında diskriminantın işaretini analiz edin.
m∈(−1,7)m \in (-1, 7) için (m−7)<0(m-7) < 0 ve (m+1)>0(m+1) > 0 olduğundan Δ=(m−7)(m+1)<0\Delta = (m-7)(m+1) < 0 olur. Eşitsizliğin başkatsayısı 1>01 > 0 olduğundan, x2−(m−1)x+m+2x^2 - (m-1)x + m + 2 ifadesi her xx gerçel sayısı için daima pozitiftir. Bu durumda ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan hiçbir gerçel sayı yoktur; yani çözüm kümesi boş kümedir (∅\emptyset). Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Diskriminant negatif ve başkatsayı pozitif olduğunda, ikinci dereceden ifade tüm gerçel sayılar için pozitif değerler alır.
4
III. öncül için m>7m > 7 durumunda köklerin işaretlerini kökler toplamı ve çarpımı kuralları ile inceleyin.
m>7m > 7 için Δ>0\Delta > 0 olur ve ifadenin iki farklı gerçel kökü (x1<x2x_1 < x_2) vardır. Çözüm kümesi [x1,x2][x_1, x_2] aralığıdır. Kökler çarpımı x1⋅x2=m+2>9>0x_1 \cdot x_2 = m + 2 > 9 > 0 ve kökler toplamı x1+x2=m−1>6>0x_1 + x_2 = m - 1 > 6 > 0 olur. Çarpımları ve toplamları pozitif olan iki kök de pozitiftir (0<x1<x20 < x_1 < x_2). Bu durumda çözüm aralığındaki tüm gerçel sayılar pozitif olup negatif bir xx gerçel sayısı bulunmaz. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.
İki kök de pozitif olduğunda, bu köklerin arasındaki çözüm kümesi aralığı sadece pozitif sayılardan oluşur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde diskriminant durumuna göre işaret tablosu yapılması ve köklerin işaret analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi