Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(x⋅f′(x)+f(x))dx=x2−2x \int \left( x \cdot f'(x) + f(x) \right) dx = x^2 - 2x
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    6
  5. E
    23\frac{2}{3}

Cevap

Doğru cevap 2'dir.
Verilen eşitliğin sol tarafında yer alan integralin içerisindeki x⋅f′(x)+f(x)x \cdot f'(x) + f(x) ifadesi, x⋅f(x)x \cdot f(x) ifadesinin türevidir. Buradan integral alındığında x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C denklemi elde edilir. f(1)=2f(1) = 2 sınır koşulu yerine yazıldığında 1⋅2=12−2(1)+C1 \cdot 2 = 1^2 - 2(1) + C den C=3C = 3 olarak bulunur. Fonksiyon denklemi x⋅f(x)=x2−2x+3x \cdot f(x) = x^2 - 2x + 3 halini alır. x=3x = 3 için bu denklem 3⋅f(3)=32−2(3)+3=63 \cdot f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 6 eşitliğini verir ve buradan f(3)=2f(3) = 2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içindeki ifadenin çarpımın türevi kuralına uygunluğunu kontrol etme.
x⋅f′(x)+f(x)=(x⋅f(x))′x \cdot f'(x) + f(x) = (x \cdot f(x))' olduğunu görme.
Çarpımın türevi kuralı gereği, (g(x)⋅h(x))′=g′(x)h(x)+g(x)h′(x)(g(x) \cdot h(x))' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) olup bu kural g(x)=xg(x) = x ve h(x)=f(x)h(x) = f(x) için uygulandığında integralin içindeki ifadeyi verir.
2
Eşitliğin her iki tarafının integralini çözerek f(x)f(x) fonksiyonuna bağlı ifadeyi elde etme.
x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C
Türevi alınmış bir ifadenin belirsiz integrali, ifadenin kendisine bir integral sabiti (C) eklenmesiyle bulunur.
3
Verilen f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulunu kullanarak C sabitini hesaplama.
1⋅f(1)=12−2(1)+C  ⟹  2=−1+C  ⟹  C=31 \cdot f(1) = 1^2 - 2(1) + C \implies 2 = -1 + C \implies C = 3
Fonksiyonun kuralını tam olarak belirlemek için integral sabitinin sayısal değerini bulmamız gerekir.
4
Elde edilen x⋅f(x)=x2−2x+3x \cdot f(x) = x^2 - 2x + 3 eşitliğinde x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) değerini hesaplama.
3⋅f(3)=32−2(3)+3  ⟹  3⋅f(3)=6  ⟹  f(3)=23 \cdot f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 \implies 3 \cdot f(3) = 6 \implies f(3) = 2
Soruda bizden istenen hedef değeri bulmak için denklemde değişken yerine ilgili sayıyı yazarız.

Anahtar Kavram

Çarpımın türevi kuralı içeren ifadelerin belirsiz integrali ve integral sabiti (C) hesabı

Alternatif Yöntem

Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevi alınabilir:
ddx[∫(x⋅f′(x)+f(x)) dx]=ddx(x2−2x)\frac{d}{dx} \left[ \int (x \cdot f'(x) + f(x)) \, dx \right] = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x)
Buradan x⋅f′(x)+f(x)=2x−2x \cdot f'(x) + f(x) = 2x - 2 elde edilir. Sol taraf (x⋅f(x))′(x \cdot f(x))' çarpım türevi olduğundan:
(x⋅f(x))′=2x−2(x \cdot f(x))' = 2x - 2
Her iki tarafın tekrar belirsiz integrali alınırsa:
x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C
bağıntısı bulunur. Buradan da f(1)=2f(1) = 2 yazılarak C=3C = 3 ve ardından f(3)=2f(3) = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru