Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi, x \ne… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi,

x \neq 1

için

f'(x) = \frac{x^4 - x}{x - 1} - x^2

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(2) = 8$ olduğuna göre, $f(0)$ değeri kaçtır?

Türev fonksiyonu çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde

f'(x) = x^3 + x

elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında

f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C

bulunur.

f(2) = 8

koşulu kullanıldığında

C = 2

olarak elde edilir. İstenen

f(0)

değeri doğrudan

C

sabitine eşit olduğundan doğru yanıt 2'dir.

Verilen

f'(x)

fonksiyonunu sadeleştirmek için pay kısmını ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yaparız.

f'(x) = \frac{x(x^3 - 1)}{x - 1} - x^2 = \frac{x(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} - x^2 = x^3 + x^2 + x - x^2 = x^3 + x

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştiririz.

Sadeleştirilmiş türev fonksiyonunun belirsiz integralini alarak

f(x)

fonksiyonunun genel kuralını buluruz.

f(x) = \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C

Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.

f(2) = 8

başlangıç koşulunu yerine yazarak integral sabiti

C

'yi hesaplarız.

f(2) = \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} + C = 8 \implies 4 + 2 + C = 8 \implies C = 2

Başlangıç koşulu yardımıyla belirsiz integraldeki sabit sayı (

C

) bulunur.

f(x)

fonksiyonunda

x = 0

yazarak

f(0)

değerini hesaplarız.

f(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^2}{2} + C = C = 2

Elde edilen fonksiyonda istenen değer yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Belirsiz integral alma kuralları, rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve başlangıç değer problemleri.

Belirli integral tanımı ve Newton-Leibniz formülü kullanılarak da çözüm yapılabilir:

\int_{0}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(0)

yazılır. Sadeleştirilmiş

f'(x) = x^3 + x

fonksiyonunun

[0, 2]

aralığındaki belirli integrali

\int_{0}^{2} (x^3 + x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = (4 + 2) - 0 = 6

olarak bulunur. Buradan

f(2) - f(0) = 6 \implies 8 - f(0) = 6 \implies f(0) = 2

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru