Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(x−1)f′′(x) dx+∫f′(x) dx=x2−3x+C \int (x-1) f''(x) \, dx + \int f'(x) \, dx = x^2 - 3x + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=3f(2) = 3 olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçt��r?

  1. A
    6
  2. B
    9
  3. 11Cevap
  4. D
    15
  5. E
    27

Cevap

11
Sol taraftaki iki integral birleştirildiğinde integralin içinin (x−1)f′(x)(x-1)f'(x) ifadesinin türevi olduğu görülür. Buradan elde edilen (x−1)f′(x)=x2−3x+K(x-1)f'(x) = x^2 - 3x + K eşitliğinde, ff fonksiyonunun gerçel sayılarda türevlenebilir olması için x=1x=1 yazıldığında sağ tarafın sıfır olması gerektiği kullanılarak K=2K=2 bulunur. Buradan f′(x)=x−2f'(x) = x-2 elde edilir. Bu ifadenin integrali alınarak ve f(2)=3f(2)=3 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti C2=5C_2 = 5 bulunur. Son olarak f(6)=11f(6) = 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki integral ifadesini integralin doğrusallık özelliğini kullanarak birleştirin.
∫[(x−1)f′′(x)+f′(x)] dx=x2−3x+C\int [ (x-1)f''(x) + f'(x) ] \, dx = x^2 - 3x + C
Aynı değişkene göre alınan belirsiz integraller tek bir integral altında toplanabilir.
2
İntegralin içindeki ifadenin çarpımın türevi kuralına uygunluğunu tespit edin.
(x−1)f′(x)=x2−3x+K(x-1)f'(x) = x^2 - 3x + K (KK bir gerçel sayı sabiti)
[(x−1)f′(x)]′=(x−1)f′′(x)+f′(x)[(x-1)f'(x)]' = (x-1)f''(x) + f'(x) olduğundan, integral alındığında ifadenin kendisi elde edilir.
3
ff fonksiyonunun her yerde türevlenebilir olması koşulunu kullanarak KK sabitini bulun.
x=1x = 1 için 0=1−3+K  ⟹  K=20 = 1 - 3 + K \implies K = 2 bulunur. Dolayısıyla (x−1)f′(x)=(x−1)(x−2)(x-1)f'(x) = (x-1)(x-2) olur.
f′(1)f'(1) değerinin tanımlı bir gerçel sayı olması için eşitliğin sağ tarafının da x=1x = 1 için sıfır olması gerekir.
4
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulun ve belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunu elde edin.
f′(x)=x−2f'(x) = x-2 ve f(x)=x22−2x+C2f(x) = \frac{x^2}{2} - 2x + C_2
x≠1x \neq 1 için sadeleştirme yapıldığında f′(x)=x−2f'(x) = x-2 olur. f′f' fonksiyonunun sürekli olmasından dolayı bu eşitlik tüm gerçel sayılarda geçerlidir.
5
f(2)=3f(2) = 3 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti C2C_2 değerini bulun ve f(6)f(6) değerini hesaplayın.
C2=5C_2 = 5 ve f(6)=11f(6) = 11 bulunur.
f(2)=42−4+C2=3  ⟹  C2=5f(2) = \frac{4}{2} - 4 + C_2 = 3 \implies C_2 = 5 olur. Buradan f(6)=362−12+5=11f(6) = \frac{36}{2} - 12 + 5 = 11 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral özellikleri, çarpımın türevinin tersini bulma ve sınır koşulları ile fonksiyon bulma.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru