Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDizi Kavramı ve Genel Terim

(an)(a_n) terimleri gerçel sayılardan oluşan bir dizidir.

an=x⋅n2−16n+12n2+3a_n = \sqrt{\frac{x \cdot n^2 - 16n + 12}{n^2 + 3}}

olduğuna göre, xx gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.
Dizinin her teriminin tanımlı olması için karekökün içerisi negatif olmamalıdır. Payda daima pozitif olduğundan, pay kısmının da daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2} eşitsizliğinde sağ taraftaki ifadenin pozitif tam sayılardaki en büyük değeri n=2n = 2 için 5'tir. Bu yüzden xx en az 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık koşulunu belirleme.
x⋅n2−16n+12≥0x \cdot n^2 - 16n + 12 \ge 0 olmalıdır.
Bir dizinin terimlerinin gerçel sayı olması için karekökün içerisi negatif olamaz ve payda sıfır olamaz (n2+3>0n^2 + 3 > 0 olduğundan payda sıfır olamaz).
2
xx parametresini nn cinsinden yalnız bırakma.
x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2}
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan n2>0n^2 > 0'dır, bu sayede eşitsizlik yön değiştirmeden her iki taraf n2n^2 ile bölünebilir.
3
f(n)=16n−12n2f(n) = \frac{16n - 12}{n^2} fonksiyonunun pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulma.
Maksimum değer n=2n = 2 için f(2)=5f(2) = 5 olur.
Dizi terimlerinin indisleri pozitif tam sayı olmak zorundadır. n=1n=1 için 4, n=2n=2 için 5, n=3n=3 için 4 değerleri elde edilir ve sonraki terimler azalarak devam eder.
4
xx için sınır değerini belirleme ve en küçük tam sayıyı bulma.
x≥5x \ge 5 şartından en küçük tam sayı değeri 5'tir.
Eşitsizliğin tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için sağlanması, xx'in bu kümedeki en büyük değerden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesi olan pozitif tam sayılar kümesindeki her eleman için reel sayı değerleri üretmesi gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru