Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
aa ve bb rasyonel sayılar olmak üzere,
f(x)=13x3−(a+1)x2+(a2+2a)x+bf(x) = \frac{1}{3}x^3 - (a+1)x^2 + (a^2 + 2a)x + b
fonksiyonunun yerel maksimum noktası
y=13x3+2x2−4y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4
eğrisi üzerindedir.

ff fonksiyonunun yerel minimum değeri −3-3 olduğuna göre, bb kaçtır?

  1. A
    −133-\frac{13}{3}
  2. B
    -1
  3. -3Cevap
  4. D
    0
  5. E
    73\frac{7}{3}

Cevap

Rasyonel katsayılı f fonksiyonu için b değeri -3 olarak bulunur.
Doğru değer olan -3 seçeneği, türev köklerinin x = a ve x = a+2 olarak belirlenmesi, küçük kök olan a değerinin yerel maksimum noktası oluşturması, bu noktanın verilen eğri üzerinde olmasından b = a^2 - 4 bağıntısının bulunması ve yerel minimum noktasının ordinatının -3 olmasından elde edilen a^3 + 6a^2 - 7 = 0 denkleminin rasyonel kökü olan a = 1 yardımıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak kritik noktalar belirlenir.
f′(x)=x2−2(a+1)x+a(a+2)f'(x) = x^2 - 2(a+1)x + a(a+2)
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türev fonksiyonunun kökleridir.
2
Türev fonksiyonunun kökleri çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunur.
(x−a)(x−(a+2))=0  ⟹  x1=a, x2=a+2(x-a)(x-(a+2)) = 0 \implies x_1 = a, \ x_2 = a+2
Türev fonksiyonu sıfıra eşitlenerek kritik noktalar elde edilir.
3
Türevin işaret tablosu incelenerek yerel maksimum ve minimum noktaları ayırt edilir.
x=ax = a noktası yerel maksimum apsisi, x=a+2x = a+2 noktası ise yerel minimum apsisidir.
Başkatsayı pozitif olduğundan, küçük kök yerel maksimuma, büyük kök yerel minimuma karşılık gelir.
4
Yerel maksimum noktası A(a,f(a))A(a, f(a)) koordinatları hesaplanır ve eğri denklemiyle ilişkilendirilir.
f(a)=13a3+a2+bf(a) = \frac{1}{3}a^3 + a^2 + b olup bu nokta eğri üzerinde olduğundan b=a2−4b = a^2 - 4 elde edilir.
Grafik üzerindeki her nokta, o grafi��in denklemini sağlamak zorundadır.
5
Yerel minimum değeri f(a+2)=−3f(a+2) = -3 eşitliği kullanılarak aa değerini veren denklem kurulur.
f(a+2)=13a3+2a2−163=−3  ⟹  a3+6a2−7=0f(a+2) = \frac{1}{3}a^3 + 2a^2 - \frac{16}{3} = -3 \implies a^3 + 6a^2 - 7 = 0
Yerel minimum değeri, yerel minimum noktasının ordinatıdır.
6
Elde edilen üçüncü dereceden denklem rasyonel kökler için çözülür.
(a−1)(a2+7a+7)=0  ⟹  a=1(a-1)(a^2+7a+7) = 0 \implies a = 1 (çünkü diğer kökler irrasyoneldir).
aa parametresinin rasyonel sayı olduğu bilgisi kullanılarak tek çözüm belirlenir.
7
a=1a = 1 değeri kullanılarak bb değeri hesaplanır.
b=12−4=−3b = 1^2 - 4 = -3
b=a2−4b = a^2 - 4 eşitliğinde aa yerine 1 yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi, polinomların analitik düzlemde eğrilerle olan ilişkisi ve parametrik katsayıların bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru