Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f′(x)=(x−3)2(x+1)(x−a)x2+1f'(x) = \frac{(x - 3)^2(x + 1)(x - a)}{x^2 + 1}
biçimindedir.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 66 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 7Cevap
  4. D
    6
  5. E
    8

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 66 olan durum için aa değeri 77 olmalıdır.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin köklerinden x=3x = 3 çift katlı kök olduğundan bu noktada işaret değişmez ve yerel ekstremum noktası değildir. x=−1x = -1 ve x=ax = a noktaları tek katlı kökler olduğundan bu noktalarda işaret değişir ve yerel ekstremum noktalarıdır. Apsisler toplamı −1+a=6  ⟹  a=7-1 + a = 6 \implies a = 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunu sıfır yapan kritik noktaları belirlemek.
f′(x)=0  ⟹  (x−3)2(x+1)(x−a)=0f'(x) = 0 \implies (x - 3)^2(x + 1)(x - a) = 0 denkleminden elde edilen kökler x=3x = 3 (çift katlı), x=−1x = -1 ve x=ax = a'dır.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Bu noktalar türevin sıfır olduğu yerlerde aranır.
2
Köklerin katlılık durumunu inceleyerek işaret değişimini analiz etmek.
x=3x = 3 noktası çift katlı kök olduğundan türev bu noktada işaret değiştirmez. x=−1x = -1 ve x=ax = a noktaları tek katlı kökler olduğundan türev bu noktalarda işaret değiştirir.
Çift katlı köklerde fonksiyonun türevi işaret değiştirmediği için bu noktalar yerel ekstremum noktası olamaz.
3
Ekstremum noktalarının apsisleri toplamını kullanarak aa değerini hesaplamak.
Ekstremum noktalarının apsisleri −1-1 ve aa olduğundan, toplamları −1+a=6  ⟹  a=7-1 + a = 6 \implies a = 7 olarak elde edilir.
Soruda yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamının 66 olduğu verilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi işaret değiştirmelidir. Türevin çift katlı köklerinde işaret değişimi olmadığından bu noktalar yerel ekstremum noktası olamaz.
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru