Examkin

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

46 soru

Soru 1Soru →
aa ve bb rasyonel sayılar olmak üzere,
f(x)=13x3−(a+1)x2+(a2+2a)x+bf(x) = \frac{1}{3}x^3 - (a+1)x^2 + (a^2 + 2a)x + b
fonksiyonunun yerel maksimum noktası
y=13x3+2x2−4y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4
eğrisi üzerindedir.

ff fonksiyonunun yerel minimum değeri −3-3 olduğuna göre, bb kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Rasyonel katsayılı f fonksiyonu için b değeri -3 olarak bulunur.
Doğru değer olan -3 seçeneği, türev köklerinin x = a ve x = a+2 olarak belirlenmesi, küçük kök olan a değerinin yerel maksimum noktası oluşturması, bu noktanın verilen eğri üzerinde olmasından b = a^2 - 4 bağıntısının bulunması ve yerel minimum noktasının ordinatının -3 olmasından elde edilen a^3 + 6a^2 - 7 = 0 denkleminin rasyonel kökü olan a = 1 yardımıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak kritik noktalar belirlenir.
f′(x)=x2−2(a+1)x+a(a+2)f'(x) = x^2 - 2(a+1)x + a(a+2)
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türev fonksiyonunun kökleridir.
2
Türev fonksiyonunun kökleri çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunur.
(x−a)(x−(a+2))=0  ⟹  x1=a, x2=a+2(x-a)(x-(a+2)) = 0 \implies x_1 = a, \ x_2 = a+2
Türev fonksiyonu sıfıra eşitlenerek kritik noktalar elde edilir.
3
Türevin işaret tablosu incelenerek yerel maksimum ve minimum noktaları ayırt edilir.
x=ax = a noktası yerel maksimum apsisi, x=a+2x = a+2 noktası ise yerel minimum apsisidir.
Başkatsayı pozitif olduğundan, küçük kök yerel maksimuma, büyük kök yerel minimuma karşılık gelir.
4
Yerel maksimum noktası A(a,f(a))A(a, f(a)) koordinatları hesaplanır ve eğri denklemiyle ilişkilendirilir.
f(a)=13a3+a2+bf(a) = \frac{1}{3}a^3 + a^2 + b olup bu nokta eğri üzerinde olduğundan b=a2−4b = a^2 - 4 elde edilir.
Grafik üzerindeki her nokta, o grafi��in denklemini sağlamak zorundadır.
5
Yerel minimum değeri f(a+2)=−3f(a+2) = -3 eşitliği kullanılarak aa değerini veren denklem kurulur.
f(a+2)=13a3+2a2−163=−3  ⟹  a3+6a2−7=0f(a+2) = \frac{1}{3}a^3 + 2a^2 - \frac{16}{3} = -3 \implies a^3 + 6a^2 - 7 = 0
Yerel minimum değeri, yerel minimum noktasının ordinatıdır.
6
Elde edilen üçüncü dereceden denklem rasyonel kökler için çözülür.
(a−1)(a2+7a+7)=0  ⟹  a=1(a-1)(a^2+7a+7) = 0 \implies a = 1 (çünkü diğer kökler irrasyoneldir).
aa parametresinin rasyonel sayı olduğu bilgisi kullanılarak tek çözüm belirlenir.
7
a=1a = 1 değeri kullanılarak bb değeri hesaplanır.
b=12−4=−3b = 1^2 - 4 = -3
b=a2−4b = a^2 - 4 eşitliğinde aa yerine 1 yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi, polinomların analitik düzlemde eğrilerle olan ilişkisi ve parametrik katsayıların bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2Soru →
f(x)=x2+axx−1f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 1}

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 33 olduğuna göre, bu fonksiyonun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 0'dır.
Türev sıfıra eşitlenerek a=3a = 3 olarak bulunur. Türevin kökleri olan x=3x = 3 (yerel minimum) ve x=−1x = -1 (yerel maksimum) değerlerinden yerel maksimum noktası B(−1,1)B(-1, 1) olarak elde edilir. Bu noktanın koordinatları toplamı olan −1+1=0-1 + 1 = 0 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=x2−2x−a(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x-1)^2}
Ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Yerel minimum noktasının apsisi olan x=3x=3 değeri türevde yerine yazılarak sıfıra eşitlenir.
32−2(3)−a=0  ⟹  a=33^2 - 2(3) - a = 0 \implies a = 3
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıfırdır.
3
a=3a=3 değeri fonksiyon türevinde yerine yazılarak türevin kökleri bulunur.
f′(x)=x2−2x−3(x−1)2=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0  ⟹  x1=3, x2=−1f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x_1 = 3,\, x_2 = -1
Diğer ekstremum noktalarını ve t��revin işaret değişimini incelemek için kökler belirlenmelidir.
4
Türevin işaret tablosu oluşturulur ve yerel maksimum noktası tespit edilir.
x=−1x = -1 noktasında türev işareti artıdan eksiye geçtiği için bu nokta yerel maksimum noktasıdır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği yerel maksimum noktası belirlenir.
5
x=−1x = -1 değeri fonksiyonda yerine yazılarak maksimum noktanın koordinatları toplamı hesaplanır.
f(−1)=1  ⟹  (−1)+1=0f(-1) = 1 \implies (-1) + 1 = 0
Maksimum noktanın apsis ve ordinat değerlerinin toplamı istenir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir fonksiyonların yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfırdır ve işaret değiştirir.
Soru 3Soru →
Bir aa parametresi için, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=(x−3)2⋅∣x−a∣f(x) = (x-3)^2 \cdot |x-a|
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 77 olarak verilmiştir.

Buna göre, aa sayısının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95\frac{9}{5}

Cevap

9/5
Fonksiyonun her yerde sürekli ve negatif olmayan (f(x)≥0f(x) \ge 0) yapısı incelendiğinde, x=3x=3 ve x=ax=a noktalarında sıfır değerini alarak yerel minimum yaptığı görülür. Ayrıca iki minimum noktası arasında fonksiyonun türevinin sıfır olduğu x=2a+33x = \frac{2a+3}{3} noktası yerel maksimumdur. Bu üç apsisin toplamı 77 değerine eşitlenerek a=95a = \frac{9}{5} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun genel yapısını inceleyip köklerdeki yerel ekstremum durumunu belirleme
f(x)=(x−3)2∣x−a∣f(x) = (x-3)^2 |x-a| fonksiyonu her xx gerçel sayısı için f(x)≥0f(x) \ge 0 değerini alır. Fonksiyonu sıfır yapan x=3x = 3 ve x=ax = a noktalarında fonksiyon mutlak minimum değerine (yani sıfıra) ulaşır. Bu nedenle, x=3x = 3 ve x=ax = a noktaları kesinlikle birer yerel minimum noktasıdır.
Bir fonksiyon sürekli olduğu bir noktada çevre komşuluğuna göre en küçük değeri alıyorsa, o nokta yerel minimum noktasıdır.
2
Türevlenebilir olduğu bölgelerde türev hesabı yaparak diğer ekstremum noktalarını bulma
x≠ax \neq a için fonksiyonun türevi alınırsa; x>ax > a için f′(x)=(x−3)(3x−2a−3)f'(x) = (x-3)(3x-2a-3) ve x<ax < a için f′(x)=−(x−3)(3x−2a−3)f'(x) = -(x-3)(3x-2a-3) bulunur. Buradan t��revi sıfır yapan diğer kritik nokta x=2a+33x = \frac{2a+3}{3} olarak belirlenir. Bu nokta, fonksiyonun artanlıktan azalanlığa geçtiği yerel maksimum noktasıdır.
Türevin işaret değiştirdiği iç noktalar fonksiyonun yön değiştirdiği ekstremum noktalarını verir.
3
Apsisler toplamı eşitliğini kurarak bilinmeyen parametreyi çekme
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri sırasıyla 33, aa ve 2a+33\frac{2a+3}{3} noktalarıdır. Bunların toplamı:
3+a+2a+33=7  ⟹  a+2a+33=4  ⟹  5a+3=12  ⟹  a=953 + a + \frac{2a+3}{3} = 7 \implies a + \frac{2a+3}{3} = 4 \implies 5a + 3 = 12 \implies a = \frac{9}{5} olarak hesaplanır.
Soruda verilen ekstremum noktalarının apsisleri toplamının 7 olması bilgisini kullanmak amacıyla.
4
Bulunan parametre değerinin aralık tutarlılığını kontrol etme
a=1.8a = 1.8 için ekstremum noktaları 1.81.8, 2.22.2 ve 33 olur. 1.8<2.2<31.8 < 2.2 < 3 koşulu sağlandığı için yerel maksimum noktası gerçekten de iki yerel minimum noktası arasında yer alır ve çözüm tutarlıdır.
Mutlak değer işaretinin açıldığı aralıkların doğruluğunu teyit etmek amacıyla.

Anahtar Kavram

Türevlenebilen ve türevlenemeyen sürekli fonksiyonlarda yerel ekstremum noktalarının analizi
Soru 4Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f′(x)=(x−3)2(x+1)(x−a)x2+1f'(x) = \frac{(x - 3)^2(x + 1)(x - a)}{x^2 + 1}
biçimindedir.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 66 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 66 olan durum için aa değeri 77 olmalıdır.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin köklerinden x=3x = 3 çift katlı kök olduğundan bu noktada işaret değişmez ve yerel ekstremum noktası değildir. x=−1x = -1 ve x=ax = a noktaları tek katlı kökler olduğundan bu noktalarda işaret değişir ve yerel ekstremum noktalarıdır. Apsisler toplamı −1+a=6  ⟹  a=7-1 + a = 6 \implies a = 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunu sıfır yapan kritik noktaları belirlemek.
f′(x)=0  ⟹  (x−3)2(x+1)(x−a)=0f'(x) = 0 \implies (x - 3)^2(x + 1)(x - a) = 0 denkleminden elde edilen kökler x=3x = 3 (çift katlı), x=−1x = -1 ve x=ax = a'dır.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Bu noktalar türevin sıfır olduğu yerlerde aranır.
2
Köklerin katlılık durumunu inceleyerek işaret değişimini analiz etmek.
x=3x = 3 noktası çift katlı kök olduğundan türev bu noktada işaret değiştirmez. x=−1x = -1 ve x=ax = a noktaları tek katlı kökler olduğundan türev bu noktalarda işaret değiştirir.
Çift katlı köklerde fonksiyonun türevi işaret değiştirmediği için bu noktalar yerel ekstremum noktası olamaz.
3
Ekstremum noktalarının apsisleri toplamını kullanarak aa değerini hesaplamak.
Ekstremum noktalarının apsisleri −1-1 ve aa olduğundan, toplamları −1+a=6  ⟹  a=7-1 + a = 6 \implies a = 7 olarak elde edilir.
Soruda yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamının 66 olduğu verilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi işaret değiştirmelidir. Türevin çift katlı köklerinde işaret değişimi olmadığından bu noktalar yerel ekstremum noktası olamaz.
Soru 5Soru →
f(x)=x3−3x2+3x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Verilen fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı sıfırdır.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x−1)2f'(x) = 3(x-1)^2 olarak bulunur. x=1x=1 türevin çift katlı köküdür ve bu noktanın sağında da solunda da türevin işareti pozitif (+) kalır. Fonksiyon daima artan olup hiçbir noktada ekstremum değerine ulaşmaz. Bu nedenle yerel ekstremum noktalarının sayısı sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x+3f'(x) = 3x^2 - 6x + 3
Yerel ekstremum noktalarının varlığını ve sayısını belirlemek için öncelikle birinci türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Elde edilen türev fonksiyonu çarpanlarına ayrılır ve sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur.
3(x2−2x+1)=3(x−1)2=0⇒x=13(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 (çift katlı kök)
Türev fonksiyonunun işaret tablosunun hazırlanabilmesi için kökler ve bu köklerin katlılık durumları belirlenmelidir.
3
Türev fonksiyonunun işaret tablosu oluşturularak işaret değişimi incelenir.
x=1x = 1 noktasının solunda ve sağında f′(x)>0f'(x) > 0 olduğu için türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi (artanlıktan azalanlığa ya da azalanlıktan artanlığa geçmesi) zorunludur.
4
Ekstremum noktalarının toplam sayısı belirlenir.
Türev hiçbir noktada işaret değiştirmediği için fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur (sayısı 0'dır).
Çift katlı köklerde işaret değişimi gerçekleşmediği için bu noktalar yerel ekstremum oluşturmaz.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi işaret değiştirmelidir. Çift katlı köklerde işaret değişimi olmadığından bu noktalar ekstremum noktası olamaz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 6Soru →
f(x)=14x4−2x2f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

0
Verilen fonksiyonun birinci türevi hesaplandığında kökleri −2-2, 00 ve 22 olarak elde edilir. İşaret tablosu incelendiğinde, sıfır noktasından geçerken türevin işareti pozitiften negatife değiştiği için bu nokta fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
f′(x)=4⋅14x3−2⋅2x=x3−4xf'(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevi hesaplanır.
2
Türevi sıfıra eşitleyen kritik noktaları (kökleri) bulalım.
x3−4x=0  ⟹  x(x2−4)=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0 Buradan kökler x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum noktas��nı belirleyelim.
f′(x)f'(x) ifadesinin başkatsayısı pozitif olduğundan tabloya en sağdan ++ ile başlanır:
- x>2x > 2 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan)
- 0<x<20 < x < 2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan)
- −2<x<0-2 < x < 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan)
- x<−2x < -2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan)

Bu durumda:
- −2-2 noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum,
- Sıfır noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum,
- 22 noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum vardır.
Türevin işaretinin pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel maksimum noktalarında birinci türevi sıfırdır ve türevin işareti bu noktalardan geçerken pozitiften negatife değişir.
Soru 7Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=∣x2−1∣(x2−a)f(x) = |x^2 - 1|(x^2 - a)

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı NN'dir.

Buna göre, NN değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Ekstremum noktalarının sayısı olan NN değeri 11, 33 veya 55 olabilir ve bu değerlerin toplamı 99'dur.
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı, aa parametresinin değerlerine göre değişmektedir. Yapılan detaylı analiz sonucunda, a=1a = 1 iken fonksiyonun yalnızca x=0x = 0 noktasında yerel ekstremumu bulunur (N=1N = 1). a≤−1a \le -1 iken fonksiyonun x=0,x=1,x=−1x = 0, x = 1, x = -1 olmak üzere 33 yerel ekstremum noktası vardır (N=3N = 3). −1<a<1-1 < a < 1 ve a>1a > 1 durumlarında ise fonksiyonun 55 farklı yerel ekstremum noktası bulunur (N=5N = 5). Dolayısıyla NN değerinin alabileceği farklı değerler 1,31, 3 ve 55'tir. Bunların toplamı da 99 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerin kritik noktaları olan x=1x = 1 ve x=−1x = -1 civarındaki davranışı incelemek.
f(x)=∣x2−1∣(x2−a)f(x) = |x^2-1|(x^2-a) fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan x≥0x \ge 0 için incelemek yeterlidir. x=1x = 1 noktasında x2−1x^2-1 işaret değiştirir. Eğer a≠1a \neq 1 ise, x=1x = 1 noktasının komşuluğunda f(x)f(x) fonksiyonu x=1x = 1'in solunda ve sağında farklı işaretli türevlere sahip olur veya sınırda yerel minimum ya da maksimum oluşturur. Dolayısıyla a≠1a \neq 1 iken x=1x = 1 ve simetrisi olan x=−1x = -1 yerel ekstremum noktalarıdır. Eğer a=1a = 1 ise, f(x)=∣x2−1∣(x2−1)f(x) = |x^2-1|(x^2-1) olur. Bu durumda x=1x = 1 civarında f(x)f(x) işareti x>1x > 1 için pozitif, x<1x < 1 için negatif olur ve fonksiyon artmaya devam eder, yani x=±1x = \pm 1 noktaları ekstremum noktası olamaz.
Mutlak değerli fonksiyonların köklerinde türev olmasa bile yerel ekstremum noktası bulunabilir. Bu yüzden x=±1x = \pm 1 noktalarının ekstremum olma durumunu aa parametresine göre ayırmak gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu diğer iç noktaları tespit etmek.
g(x)=(x2−1)(x2−a)=x4−(a+1)x2+ag(x) = (x^2-1)(x^2-a) = x^4 - (a+1)x^2 + a tanımlayalım. g′(x)=4x3−2(a+1)x=2x(2x2−(a+1))g'(x) = 4x^3 - 2(a+1)x = 2x(2x^2 - (a+1)) olur. Bu türevin kökleri x=0x = 0 ve x2=a+12x^2 = \frac{a+1}{2} (eğer a≥−1a \ge -1 ise) olarak bulunur. Bu köklerin mutlak değer sınırları olan −1-1 ve 11 ile olan ilişkisi incelenmelidir.
Parçalı tanımlanan fonksiyonun her bir bölgesinde türevin sıfır olduğu yerler yerel ekstremum adayıdır.
3
aa parametresinin farklı aralıkları için ekstremum sayılarını (NN) belirlemek.
1. Durum: a<−1a < -1 ise, a+12<0\frac{a+1}{2} < 0 olduğundan 2x2−(a+1)=02x^2 - (a+1) = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur. Tek türev sıfır noktası x=0x = 0'dır. a≠1a \neq 1 olduğundan x=±1x = \pm 1 noktaları da ekstremumdur. Bu durumda ekstremum noktaları {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} olup N=3N = 3 olur.

2. Durum: a=−1a = -1 ise, x2=0  ⟹  x=0x^2 = 0 \implies x = 0 çift katlı kök gibi davranır, ekstremum noktaları yine {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} olur ve N=3N = 3'tür.

3. Durum: −1<a<1-1 < a < 1 ise, 0<a+12<10 < \frac{a+1}{2} < 1 olur. Bu durumda x2=a+12x^2 = \frac{a+1}{2} denkleminin kökleri olan x1,x2=±a+12x_1, x_2 = \pm \sqrt{\frac{a+1}{2}} noktaları (−1,1)(-1, 1) aralığının içindedir. Ekstremum noktaları {−1,x1,0,x2,1}\{-1, x_1, 0, x_2, 1\} olup N=5N = 5 olur.

4. Durum: a=1a = 1 ise, x=±1x = \pm 1 noktalarında işaret değişimi olmadığından ekstremum yoktur. Tek ekstremum noktası x=0x = 0 olup N=1N = 1 olur.

5. Durum: a>1a > 1 ise, a+12>1\frac{a+1}{2} > 1 olur. Bu durumda x1,x2=±a+12x_1, x_2 = \pm \sqrt{\frac{a+1}{2}} kökleri [−1,1][-1, 1] aralığının dışındadır. Ekstremum noktaları {x1,−1,0,1,x2}\{x_1, -1, 0, 1, x_2\} olup N=5N = 5 olur.
aa değerinin kritik sınırları olan −1-1 ve 11 değerlerine göre türev köklerinin konumunu ve sınır noktalarının ekstremum olup olmadığını netleştirmek gerekir.
4
Elde edilen tüm farklı NN değerlerini toplamak.
NN değerinin alabileceği farklı değerler 1,31, 3 ve 55'tir. Bunların toplamı ise 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9 olarak bulunur.
Soru bizden NN sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda türevlenebilirlik ile yerel ekstremum noktası ilişkisi ve sınır noktalarının analizi.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun grafiğinin a>1a > 1, a=1a = 1, −1<a<1-1 < a < 1, a=−1a = -1 ve a<−1a < -1 durumları için kabaca çizilmesi (grafiksel analiz yöntemi), yerel ekstremum noktalarının (çukur ve tümseklerin) sayısını görsel olarak görmeyi çok kolaylaştırır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 8Soru →
f(x)=14x4−x3+5f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi 3'tür.
Verilen fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=x2(x−3)f'(x) = x^2(x-3) elde edilir. Bu ifadenin kökleri x=0x=0 (çift katlı) ve x=3x=3 (tek katlı) olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde, x=3x=3 noktasının solunda türevin negatif (fonksiyonun azalan) ve sağında pozitif (fonksiyonun artan) olduğu görülür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevini alın.
f′(x)=x3−3x2f'(x) = x^3 - 3x^2
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türevinin sıfır olduğu kritik noktalar belirlenmelidir.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kökleri bulun.
x2(x−3)=0  ⟹  x=0 ve x=3x^2(x - 3) = 0 \implies x = 0 \text{ ve } x = 3
Türevin işaret değiştirdiği noktaları bulmak amacıyla kökler tespit edilir. Burada x=0x=0 çift katlı kök, x=3x=3 ise tek katlı köktür.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturun.
x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), 0<x<30 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x<0x < 0 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) olur.
x=0x=0 çift katlı kök olduğu için işareti değiştirmeden geçeriz. x=3x=3 tek katlı kök olduğu için işaret negatiften pozitife döner.
4
İşaret değişimine göre yerel minimum noktasını belirleyin.
Türevin işareti x=3x=3 noktasında negatiften pozitife geçtiği için (fonksiyon azalandan artana geçtiği için) x=3x=3 noktası yerel minimum noktasıdır. x=0x=0 noktasında işaret değişmediği için ekstremum yoktur.
Yerel minimum noktası, türevin işaretinin eksiden artıya geçtiği apsis değerine karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi ve tek/çift katlı köklerin ekstremum üzerindeki etkisi.

İpuçları

1
Öncelikle fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitleyin.
Tahmini Süre:50s
Soru 9Soru →
f(x)={x2−2ax+5,x<2x3−3x2+b,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 - 2ax + 5, & x < 2 \\ x^3 - 3x^2 + b, & x \geq 2 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında bir yerel ekstremumu olduğuna göre, bb gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En büyük değer 5'tir.
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında sürekli olması şartından b=13−4ab = 13 - 4a bağıntısı bulunur. x>2x > 2 için türev pozitif olduğundan fonksiyon artandır. x=2x = 2 noktasında yerel ekstremum (yerel minimum) oluşabilmesi için fonksiyonun x<2x < 2 bölgesinde tamamen azalan olması gerekir, bu da a≥2a \geq 2 olmasını zorunlu kılar. Bu eşitsizlik b=13−4ab = 13 - 4a bağıntısında yerine yazıldığında b≤5b \leq 5 elde edilir ve en büyük değer 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik şartını kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulunuz.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)  ⟹  9−4a=b−4  ⟹  b=13−4a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \implies 9 - 4a = b - 4 \implies b = 13 - 4a
Fonksiyonun gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan x=2x = 2 noktasında da sürekli olması gerekir.
2
x>2x > 2 için fonksiyonun artan/azalan durumunu inceleyiniz.
x>2 ic¸in f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)>0x > 2 \text{ için } f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) > 0
Türevin işaretine göre fonksiyonun artış eğilimini belirlemek gerekir.
3
x<2x < 2 için yerel ekstremum koşulunu inceleyerek a için sınır koşulunu bulunuz.
x<2 ic¸in f′(x)=2(x−a)≤0  ⟹  a≥2x < 2 \text{ için } f'(x) = 2(x - a) \leq 0 \implies a \geq 2
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasının sağında artan olduğu bilinmektedir. x=2x = 2 noktasında yerel ekstremum (yerel minimum) olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda azalan olması gerekir. Bu da her x<2x < 2 için f′(x)≤0f'(x) \leq 0 olmasını gerektirir.
4
a≥2a \geq 2 koşulunu kullanarak b değerini sınırlandırınız.
a≥2  ⟹  −4a≤−8  ⟹  13−4a≤5  ⟹  b≤5a \geq 2 \implies -4a \leq -8 \implies 13 - 4a \leq 5 \implies b \leq 5
Süreklilikten elde edilen b=13−4ab = 13 - 4a eşitliğinde a parametresinin sınırlarını yerine yazarak b için alabileceği en büyük değeri bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevin işaret değiştirmesi ve süreklilik ilişkisi.
Soru 10Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x)=x−1+9x−1f(x) = x - 1 + \frac{9}{x - 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Verilen fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x = -2 ve x = 4 noktalarında türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bu apsislerin toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=1−9(x−1)2=(x−1)2−9(x−1)2f'(x) = 1 - \frac{9}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 9}{(x-1)^2}
Yerel ekstremum noktaları, türevin işaret değiştirdiği kritik noktalarda bulunur.
2
Türevin sıfır olduğu noktalar (payın kökleri) belirlenir.
(x−1)2−9=0⇒(x−1)2=9⇒x−1=3 veya x−1=−3⇒x=4 ve x=−2(x-1)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 9 \Rightarrow x-1 = 3 \text{ veya } x-1 = -3 \Rightarrow x = 4 \text{ ve } x = -2
Türevin payını sıfır yapan noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin paydasının kökü incelenir.
(x−1)2=0⇒x=1(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 (çift katlı kök ve tanımsızlık noktası)
Fonksiyon x = 1 noktasında tanımlı değildir, ayrıca bu nokta türevin çift katlı kökü olduğu için türevin işareti bu noktada değişmez.
4
Türevin işaret tablosu yapılarak ekstremum noktaları belirlenir.
x < -2 için f'(x) > 0 (artan), -2 < x < 1 için f'(x) < 0 (azalan), 1 < x < 4 için f'(x) < 0 (azalan), x > 4 için f'(x) > 0 (artan). Buna göre, x = -2 noktasında yerel maksimum ve x = 4 noktasında yerel minimum vardır.
Türevin işaretinin değiştiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.
5
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplanır.
−2+4=2-2 + 4 = 2
Bulunan yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Yerel ekstremum noktalarının bulunması için birinci türevin işaret tablosunun incelenmesi gerekir. Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.
Soru 11Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2+ax+bx2+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + 1}

fonksiyonunun mutlak maksimum noktası (1,2)(1, 2)'dir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İstenen çarpım değeri 22 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan 22 değeri, fonksiyonun (1,2)(1, 2) noktasını sağlamasıyla elde edilen a+b=3a+b=3 denklemi ile bu noktada türevin sıfır olmasından gelen b=1b=1 bilgisinin birleştirilmesiyle bulunur. Buradan a=2a=2 ve a⋅b=2a \cdot b = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)=2f(1) = 2 eşitliğini kurarak aa ve bb arasındaki ilk denklemi elde etmek.
a+b=3a + b = 3
(1,2)(1, 2) noktası fonksiyon grafiği üzerinde yer aldığı için fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alıp x=1x = 1 noktasında sıfıra eşitlemek.
f′(1)=0f'(1) = 0 ve buradan b=1b = 1
(1,2)(1, 2) noktası bir yerel ekstremum noktasıdır ve fonksiyon tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olduğundan bu noktada türev sıfır olmalıdır.
3
a+b=3a + b = 3 denkleminde b=1b = 1 değerini yerine yazarak aa değerini bulmak.
a=2a = 2
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek bilinmeyen katsayıları tamamlamak.
4
aa ve bb değerlerini çarparak istenen sonucu hesaplamak.
a⋅b=2a \cdot b = 2
Soru kökündeki çarpım ifadesini tamamlamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ve mutlak ekstremum noktalarında türevin sıfır olması ve fonksiyonun değerinin bulunması.
Soru 12Soru →
f(x)=13x3−4x2+16x−5f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x - 5 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı 0'dır.
Verilen fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=(x−4)2f'(x) = (x-4)^2 elde edilir. Bu ifadenin kökü olan x=4x = 4 bir çift katlı köktür. Çift katlı köklerin sağında ve solunda türevin işareti değişmeyip pozitif kalmaya devam ettiği için fonksiyon bu noktada artışını sürdürür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur ve sayısı sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
f′(x)=x2−8x+16f'(x) = x^2 - 8x + 16
Yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun türevinin işaret incelemesini yapmalıyız.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım.
x2−8x+16=0  ⟹  (x−4)2=0  ⟹  x=4x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 (çift katlı kök)
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyelim.
x=4x = 4 noktasının solunda ve sağında f′(x)>0f'(x) > 0 olduğundan türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.
Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde işaret değişmediğinden x=4x = 4 noktası bir ekstremum noktası değildir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin sıfır oldu��u bir noktada yerel ekstremum olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmediği için yerel ekstremum noktası oluşmaz.
Soru 13Soru →

f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=x3−2x2x−2f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x - 2}

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Yerel minimum noktasının apsisi 0'dır.
Fonksiyon x≠2x \neq 2 için sadeleştirildiğinde f(x)=x2f(x) = x^2 halini alır. Bu fonksiyonun birinci türevi f′(x)=2xf'(x) = 2x olur. Türevin kökü x=0x = 0 olup, bu noktada türevin işareti negatiften pozitife geçtiği için x=0x = 0 apsisli nokta fonksiyonun yerel minimum noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tanım kümesini inceleyelim ve sadeleştirme yapalım.
x≠2x \neq 2 için f(x)=x2(x−2)x−2=x2f(x) = \frac{x^2(x - 2)}{x - 2} = x^2 olur.
İşlemleri kolaylaştırmak ve türev almayı sadeleştirmek amacıyla ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yaparız.
2
Sadeleştirilmiş fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=2xf'(x) = 2x (x≠2x \neq 2)
Ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini incelememiz gerekir.
3
Türevin köklerini bulup işaret tablosunu inceleyelim.
f′(x)=2x=0⇒x=0f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0 bulunur. İşaret tablosunda x<0x < 0 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x>0x > 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
Türevin işaret değiştirdiği noktaları ve bu noktalardaki artanlık-azalanlık durumunu belirlemek için.
4
Türevin işaret değişimine göre yerel minimum noktasını belirleyelim.
x=0x = 0 noktasında türevin işareti negatiften pozitife değiştiği için bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Dolay��sıyla yerel minimum noktasının apsisi 0'dır.
Bir fonksiyonun türevinin işaretinin negatiften pozitife döndüğü tanımlı noktalar yerel minimum noktalarıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta yerel minimum noktası, birinci türevinin işaretinin negatiften pozitife döndüğü noktadır. Rasyonel fonksiyonlarda tanımsız olunan noktalar ekstremum noktası olamaz.
Soru 14Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x+2f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + 2
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerindedir.
Buna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Doğru olan 2 değeri, ekstremum noktalarının koordinatlarının y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerinde yer almasını sağlayan tek gerçel parametre değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini veren denklem oluşturulur.
f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=0f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem 3(x−(a−1))(x−(a+1))=03(x - (a - 1))(x - (a + 1)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır ve kökleri x1=a−1x_1 = a - 1 ve x2=a+1x_2 = a + 1 olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar yerel ekstremum noktalarının apsislerini verir.
2
Yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılır.
f(x)=(x−a)3−3(x−a)+a3−3a+2f(x) = (x-a)^3 - 3(x-a) + a^3 - 3a + 2 özdeşliği yardımıyla; f(a−1)=a3−3a+4f(a-1) = a^3 - 3a + 4 ve f(a+1)=a3−3af(a+1) = a^3 - 3a değerleri hesaplanır. Böylece yerel ekstremum noktaları A(a−1,a3−3a+4)A(a-1, a^3-3a+4) ve B(a+1,a3−3a)B(a+1, a^3-3a) olur.
Bir noktanın ordinatını bulmak için apsis değeri fonksiyon denkleminde yerine yazılmalıdır.
3
Bulunan ekstremum noktalarının y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerinde olması şartı uygulanır.
B(a+1,a3−3a)B(a+1, a^3-3a) noktası doğru denkleminde yerine yazıldığında a3−3a=−2(a+1)+8  ⟹  a3−a−6=0a^3 - 3a = -2(a + 1) + 8 \implies a^3 - a - 6 = 0 denklemi elde edilir. Aynı işlem AA noktası için yapıldığında da aynı denklem bulunur.
Doğru üzerindeki her nokta, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Elde edilen a3−a−6=0a^3 - a - 6 = 0 kübik denkleminin gerçel kökleri belirlenir.
a=2a = 2 değeri denklemi sağlar (23−2−6=02^3 - 2 - 6 = 0). Denklem çarpanlarına ayrıldığında (a−2)(a2+2a+3)=0(a - 2)(a^2 + 2a + 3) = 0 elde edilir. İkinci çarpanın diskriminantı Δ=4−12=−8<0\Delta = 4 - 12 = -8 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur. Dolayısıyla tek gerçel çözüm a=2a = 2'dir.
aa değerinin gerçel sayı olması istendiği için sadece gerçel kökler kabul edilir.

Anahtar Kavram

Yerel ekstremum noktalarının türev yardımıyla bulunması ve koordinat geometrisiyle ilişkilendirilmesi

Alternatif Yöntem

Ekstremum noktalarının apsisleri toplamı olan x1+x2=2ax_1 + x_2 = 2a ve orta noktanın ordinatı olan yorta=a3−3a+2y_{orta} = a^3 - 3a + 2 kullanılarak, orta noktanın doğrunun üzerinde olması gerektiği bilgisinden de doğrudan a3−3a+2=−2a+8a^3 - 3a + 2 = -2a + 8 denklemi kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Yerel maksimum noktasının apsisi -1 değeridir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x-3)(x+1) ifadesinin işaret tablosunda, x=−1x = -1 noktasında türevin işareti artıdan eksiye geçmektedir. Bu durum, fonksiyonun bu noktada artanlıktan azalanlığa geçtiğini ve dolayısıyla yerel maksimum değerine ulaştığını gösterir. Bu nedenle doğru cevap -1 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının yerini bulmak amacıyla türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek için türev fonksiyonu hesaplanır.
2
Türevin köklerini bulmak için türev ifadesi sıfıra eşitlenir.
3x2−6x−9=0  ⟹  3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03x^2 - 6x - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan kritik noktalar, yerel ekstremum noktası olmaya aday noktalardır.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0, −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
Türevin işaret değişimi incelenerek hangi kritik noktanın yerel maksimum veya yerel minimum olduğu saptanır.
4
İşaret tablosuna göre yerel maksimum noktası belirlenir.
x=−1x = -1 apsisli noktada türevin işareti pozitiften negatife (++'dan −-'ye) geçtiği için fonksiyon bu noktada yerel maksimuma ulaşır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği nokta fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonların yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevin sıfır olduğu yerlerde işaret değişimi incelenir. Türevin işaretinin pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.
Tahmini Süre:50s
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=3(x−a)(x−b)f'(x) = 3(x-a)(x-b)
eşitliği sağlanmaktadır.

aa ve bb birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları arasındaki uzaklık 20\sqrt{20} birimdir.

Buna göre, ∣a−b∣|a-b| değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

22 değeri doğrudur.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri aa ve bb olup, fonksiyonun ordinat değerleri arasındaki farkın mutlak değeri ∣f(a)−f(b)∣=∣a−b∣32|f(a)-f(b)| = \frac{|a-b|^3}{2} şeklinde elde edilir. İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak d2+d64=20d^2 + \frac{d^6}{4} = 20 denklemi yazılır ve buradan d=2d = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleme
Türev fonksiyonu olan f′(x)=3(x−a)(x−b)f'(x) = 3(x-a)(x-b) ifadesinin kökleri x=ax = a ve x=bx = b'dir. a≠ba \neq b olduğundan, türev bu noktalarda işaret değiştirir ve dolayısıyla ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri aa ve bb olur.
Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği kökleridir.
2
Ekstremum noktalarının ordinatları arasındaki farkı cebirsel olarak ifade etme
f′(x)=3x2−3(a+b)x+3abf'(x) = 3x^2 - 3(a+b)x + 3ab integral alınarak fonksiyon f(x)=x3−32(a+b)x2+3abx+Cf(x) = x^3 - \frac{3}{2}(a+b)x^2 + 3abx + C şeklinde elde edilir. Buradan f(a)−f(b)=−12(a−b)3f(a) - f(b) = -\frac{1}{2}(a-b)^3 bulunur.
Noktalar arasındaki uzaklığı hesaplamak için ekstremum noktalarının koordinatları belirlenmelidir.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama
A(a,f(a))A(a, f(a)) ve B(b,f(b))B(b, f(b)) noktaları arasındaki uzaklık d=(a−b)2+(f(a)−f(b))2d = \sqrt{(a-b)^2 + (f(a)-f(b))^2} formülüyle hesaplanır. Buradan (a−b)2+(a−b)64=20(a-b)^2 + \frac{(a-b)^6}{4} = 20 elde edilir.
İki noktanın koordinatları bilindiğinde aralarındaki uzaklık Pisagor teoremi yardımıyla bulunur.
4
Elde edilen denklemi çözerek ∣a−b∣|a-b| değerini bulma
u=(a−b)2u = (a-b)^2 dönüşümü yapılırsa, u+u34=20  ⟹  u3+4u−80=0u + \frac{u^3}{4} = 20 \implies u^3 + 4u - 80 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin tek gerçel kökü u=4u = 4'tür. Buradan ∣a−b∣=4=2|a-b| = \sqrt{4} = 2 bulunur.
Cebirsel dereceyi düşürerek ∣a−b∣|a-b| değerini elde etmek için değişken dönüştürme yöntemi kullanılır.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri türevinin tek katlı kökleridir ve bu noktalar arasındaki geometrik uzaklık iki nokta arası uzaklık formülü ile bulunur.
Soru 17Soru →
f(x)=∣x2−9∣−axf(x) = |x^2 - 9| - ax fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde tam olarak 3 tane yerel ekstremum noktası olduğu bilinmektedir. Buna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Fonksiyonun 3 yerel ekstremum noktasına sahip olmasını sağlayan 11 farklı tam sayı değeri vardır.
Fonksiyonun tam olarak 3 adet yerel ekstremum noktasına sahip olabilmesi için −6<a<6-6 < a < 6 koşulunun sağlanması gerekir. Bu aralıkta yer alan tam sayıların sayısı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerin kritik noktalarını belirleyip fonksiyonu parçalı biçimde yazın.
x<−3x < -3 veya x>3x > 3 için f(x)=x2−ax−9f(x) = x^2 - ax - 9; −3<x<3-3 < x < 3 için f(x)=9−x2−axf(x) = 9 - x^2 - ax elde edilir.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi, fonksiyonun farklı aralıklardaki cebirsel ifadesini belirlemek için gereklidir.
2
Aralıklara göre fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyin.
∣x∣>3|x| > 3 için f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a ve buradan kritik nokta x=a/2x = a/2 bulunur. ∣x∣<3|x| < 3 için f′(x)=−2x−af'(x) = -2x - a ve buradan kritik nokta x=−a/2x = -a/2 bulunur.
Ekstremum noktalarının bulunabilmesi için türevin işaret değiştirdiği yerel noktalar veya köşeler aranmalıdır.
3
Ekstremum noktası sayısının tam olarak 3 olması için gereken parametre sınırını analiz edin.
−6<a<6-6 < a < 6 olduğunda x=−a/2x = -a/2 noktası (−3,3)(-3, 3) aralığına düşer ve yerel maksimum olur. Aynı zamanda türevin bu aralıktaki sınırlarında (x=−3x = -3 ve x=3x = 3) işaret değişimi gerçekleşerek iki adet yerel minimum noktası oluşur. Toplamda 3 ekstremum noktası elde edilir.
Parametrenin sınır değerleri aşıldığında türevin kökleri ilgili aralıkların dışına çıkmakta ve köşe noktalarında yön değişimi engellendiği için ekstremum sayısı 1'e düşmektedir.
4
Bulunan aralıktaki tam sayıların adedini hesaplayın.
−6<a<6-6 < a < 6 aralığındaki tam sayılar {−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} olup 11 adettir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısını belirleyerek sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Fonksiyonun türevlenemediği köşe noktalarında da (sağ ve sol türev işaretleri zıt olmak koşuluyla) ekstremum noktaları bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Fonksiyonun yerel minimum değeri 0'dır.
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kritik noktalardan x=2x = 2 noktasında türev işaret değiştirerek negatiften pozitife geçmektedir. Bu yüzden x=2x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır ve bu noktadaki fonksiyon değeri f(2)=0f(2) = 0 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x
Ekstremum noktalarının apsislerini (kritik noktaları) bulmak için fonksiyonun türevi alınmalıdır.
2
Türevin kökleri (kritik noktalar) bulunur.
3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=0  ⟹  x1=03x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosu yapılarak yerel minimum noktası belirlenir.
x<0x < 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), 0<x<20 < x < 2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x>2x > 2 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Bu durumda x=2x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır.
Türevin işareti negatiften pozitife döndüğü nokta yerel minimum noktasıdır.
4
Yerel minimum noktasının ordinatı (yerel minimum değeri) hesaplanır.
f(2)=23−3(2)2+4=8−12+4=0f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0
Yerel minimum değeri, bu noktanın fonksiyondaki görüntüsüdür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri bulunur ve işaret tablosu yardımıyla ekstremum noktalarının türü belirlenir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 19Soru →

mm bir gerçel sayı ve m≠−1m \neq -1 olmak üzere,

f(x)=x2−mx+1x2+x+1f(x) = \frac{x^2 - mx + 1}{x^2 + x + 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı 44 olduğuna göre, ff fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Yerel minimum değeri -2 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevi alınıp sadeleştirildiğinde kritik noktalar -1 ve 1 olarak bulunur. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerinin ortalaması olan y-kesim noktası formülü kullanılarak m değeri 8 olarak elde edilir. m = 8 için türev tablosu yapıldığında, fonksiyonun x = 1 noktasında yerel minimuma sahip olduğu görülür. Fonksiyonda x = 1 yazılarak yerel minimum değeri -2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak f(x) fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=(2x−m)(x2+x+1)−(2x+1)(x2−mx+1)(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(2x - m)(x^2 + x + 1) - (2x + 1)(x^2 - mx + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
Ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun birinci türevi bulunmalıdır.
2
Türev ifadesinin pay kısmı düzenlenerek sadeleştirilir.
f′(x)=(m+1)(x2−1)(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(m + 1)(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
Kritik noktaları daha rahat görebilmek için türevi çarpanlarına ayırmak gerekir.
3
Türevi sıfır yapan kritik noktalar (apsisler) bulunur.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=1x_2 = 1
x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 denkleminin gerçel kökü olmadı��ından, türevin kökleri yalnızca payı sıfır yapan değerlerdir.
4
Yerel ekstremum noktalarının koordinatları belirlenir.
A(−1,m+2)A(-1, m + 2) ve B(1,2−m3)B\left(1, \frac{2 - m}{3}\right)
Kritik noktaların apsisleri orijinal fonksiyonda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
5
A ve B noktalarının orta noktası bulunur. Bu noktaların apsislerinin toplamının yarısı 0 olduğundan, orta nokta doğrudan y-ekseni üzerindedir ve doğrunun y-kesim noktasıdır.
Orta Nokta=(0,(m+2)+2−m32)=(0,m+43)Orta\ Nokta = \left(0, \frac{(m + 2) + \frac{2 - m}{3}}{2}\right) = \left(0, \frac{m + 4}{3}\right)
Simetrik apsislere (-1 ve 1) sahip iki noktadan geçen doğrunun y-eksenini kestiği nokta, bu noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
6
y-kesim noktasının ordinatı 4'e eşitlenerek m değeri bulunur.
m+43=4  ⟹  m=8\frac{m + 4}{3} = 4 \implies m = 8
Soruda doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 4 olarak verilmiştir.
7
m = 8 değeri için türevin işareti incelenerek yerel minimum noktası saptanır ve değeri hesaplanır.
m=8>−1m = 8 > -1 olduğundan türevin işareti x=1x = 1 noktasında negatiften pozitife geçer. Dolayısıyla x=1x = 1 yerel minimum noktasıdır. Yerel minimum değeri: f(1)=2−83=−2f(1) = \frac{2 - 8}{3} = -2
Türevin işaret değiştirdiği yön analiz edilerek yerel minimum noktasının ordinat değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyonun bu noktalardaki teğetlerinin eğimi sıfırdır.
Soru 20Soru →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−3)(x−a)2(x−b)f'(x) = (x-3)(x-a)^2(x-b)
olarak veriliyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı NN olduğuna göre,

I. a=3a = 3 ve b≠3b \neq 3 ise N=2N = 2 dir.
II. N=0N = 0 ise b=3b = 3 tür.
III. N=2N = 2 ise a≠ba \neq b dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen türev fonksiyonunda birinci ve ikinci öncüller matematiksel olarak kesinlikle doğrudur. Birinci öncüldeki durumda türevin kökleri tek kuvvetli olduğundan işaret değiştirir. İkinci öncülde ise ekstremum bulunmama durumu sadece tüm köklerin çift katlı olmasıyla mümkündür, bu da ancak ikinci parametrenin üçe eşit olmasıyla sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin köklerini ve katlılık durumlarını analiz etmek.
Türevin kökleri 33, aa ve bb'dir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmezken, tek katlı (veya tek kuvvetli) köklerde türevin işareti değişir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır.
2
Birinci öncülü değerlendirmek.
a=3a = 3 ve b≠3b \neq 3 durumunda f′(x)=(x−3)3(x−b)f'(x) = (x-3)^3(x-b) elde edilir. Kökler 33 (üç katlı) ve bb (tek katlı) olup her ikisi de tek katlı kök gibi davranarak türevin işaretini değiştirir. Bu durumda iki ekstremum noktası vardır (N=2N = 2).
Tek kuvvetli kökler işaret değişimine neden olur.
3
İkinci öncülü değerlendirmek.
b≠3b \neq 3 olduğunda aa'nın değeri ne olursa olsun (a=3a = 3, a=ba = b veya hepsi farklı) türevin en az bir tek katlı kökü bulunur ve işaret değişimi gerçekleşir. Dolayısıyla N=0N = 0 olması ancak b=3b = 3 iken türevin f′(x)=(x−3)2(x−a)2≥0f'(x) = (x-3)^2(x-a)^2 \geq 0 biçiminde olmasıyla mümkündür.
Hiç ekstremum noktasının olmaması için türev fonksiyonunun işaret değiştirmemesi gerekir.
4
Üçüncü öncülü değerlendirmek.
a=b≠3a = b \neq 3 seçildiğinde (örneğin a=b=1a = b = 1), türev f′(x)=(x−3)(x−1)3f'(x) = (x-3)(x-1)^3 olur. Burada 33 (tek katlı) ve 11 (üç katlı) noktalarında işaret değişimi olur ve N=2N = 2 sağlanır, ancak a=ba = b'dir.
Aksi bir örnek göstererek öncülün her zaman doğru olmadığını kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Türevin işaret değiştirdiği noktaların yerel ekstremum noktaları olması ve çift katlı köklerde ekstremum noktası oluşmaması.
Sayfa 1 / 3Sonraki
Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin