f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 1} fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 3 olduğuna gör… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 1}

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi $3$ olduğuna göre, bu fonksiyonun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 0'dır.

Türev sıfıra eşitlenerek

a = 3

olarak bulunur. Türevin kökleri olan

x = 3

(yerel minimum) ve

x = -1

(yerel maksimum) değerlerinden yerel maksimum noktası

B(-1, 1)

olarak elde edilir. Bu noktanın koordinatları toplamı olan

-1 + 1 = 0

doğru cevaptır.

Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi alınır.

f'(x) = \frac{x^2 - 2x - a}{(x-1)^2}

Ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türev fonksiyonu elde edilmelidir.

Yerel minimum noktasının apsisi olan

x=3

değeri türevde yerine yazılarak sıfıra eşitlenir.

3^2 - 2(3) - a = 0 \implies a = 3

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıfırdır.

a=3

değeri fonksiyon türevinde yerine yazılarak türevin kökleri bulunur.

f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x_1 = 3,\, x_2 = -1

Diğer ekstremum noktalarını ve t��revin işaret değişimini incelemek için kökler belirlenmelidir.

Türevin işaret tablosu oluşturulur ve yerel maksimum noktası tespit edilir.

x = -1

noktasında türev işareti artıdan eksiye geçtiği için bu nokta yerel maksimum noktasıdır.

Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği yerel maksimum noktası belirlenir.

x = -1

değeri fonksiyonda yerine yazılarak maksimum noktanın koordinatları toplamı hesaplanır.

f(-1) = 1 \implies (-1) + 1 = 0

Maksimum noktanın apsis ve ordinat değerlerinin toplamı istenir.

Türevlenebilir fonksiyonların yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfırdır ve işaret değiştirir.

Soru