Examkin

Soru

Zorluk: KolayYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=x3−3x2+3x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?

  1. 0Cevap
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. D
    3
  5. E
    4

Cevap

Verilen fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı sıfırdır.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x−1)2f'(x) = 3(x-1)^2 olarak bulunur. x=1x=1 türevin çift katlı köküdür ve bu noktanın sağında da solunda da türevin işareti pozitif (+) kalır. Fonksiyon daima artan olup hiçbir noktada ekstremum değerine ulaşmaz. Bu nedenle yerel ekstremum noktalarının sayısı sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x+3f'(x) = 3x^2 - 6x + 3
Yerel ekstremum noktalarının varlığını ve sayısını belirlemek için öncelikle birinci türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Elde edilen türev fonksiyonu çarpanlarına ayrılır ve sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur.
3(x2−2x+1)=3(x−1)2=0⇒x=13(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 (çift katlı kök)
Türev fonksiyonunun işaret tablosunun hazırlanabilmesi için kökler ve bu köklerin katlılık durumları belirlenmelidir.
3
Türev fonksiyonunun işaret tablosu oluşturularak işaret değişimi incelenir.
x=1x = 1 noktasının solunda ve sağında f′(x)>0f'(x) > 0 olduğu için türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi (artanlıktan azalanlığa ya da azalanlıktan artanlığa geçmesi) zorunludur.
4
Ekstremum noktalarının toplam sayısı belirlenir.
Türev hiçbir noktada işaret değiştirmediği için fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur (sayısı 0'dır).
Çift katlı köklerde işaret değişimi gerçekleşmediği için bu noktalar yerel ekstremum oluşturmaz.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi işaret değiştirmelidir. Çift katlı köklerde işaret değişimi olmadığından bu noktalar ekstremum noktası olamaz.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru