Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Türev Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(3)=2g(3) = 2
g′(3)=1g'(3) = 1
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, f(x)=(x3+1)⋅g(x2−1)f(x) = (x^3 + 1) \cdot g(x^2 - 1) kuralı ile verilen ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

  1. A
    33
  2. B
    36
  3. C
    42
  4. D
    48
  5. 60Cevap

Cevap

60
Çarpım ve zincir kuralları doğru biçimde uygulanarak türev fonksiyonu f′(x)=3x2⋅g(x2−1)+2x(x3+1)⋅g′(x2−1)f'(x) = 3x^2 \cdot g(x^2-1) + 2x(x^3+1) \cdot g'(x^2-1) olarak bulunur. Bu ifadede x=2x=2 yazıldığında f′(2)=12⋅g(3)+36⋅g′(3)f'(2) = 12 \cdot g(3) + 36 \cdot g'(3) elde edilir. Bilinen değerler (g(3)=2g(3)=2 ve g′(3)=1g'(3)=1) yerleştirildiğinde 12⋅2+36⋅1=6012 \cdot 2 + 36 \cdot 1 = 60 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini almak için çarpım kuralını uygulayalım.
f′(x)=(x3+1)′⋅g(x2−1)+(x3+1)⋅[g(x2−1)]′f'(x) = (x^3 + 1)' \cdot g(x^2 - 1) + (x^3 + 1) \cdot [g(x^2 - 1)]' elde edilir.
Çarpım durumundaki iki fonksiyonun türevi için [u(x)⋅v(x)]′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) kuralı geçerlidir.
2
Bileşke fonksiyonun türevini almak i��in zincir kuralını uygulayarak [g(x2−1)]′[g(x^2 - 1)]' ifadesini bulalım.
[g(x2−1)]′=g′(x2−1)⋅(x2−1)′=g′(x2−1)⋅2x[g(x^2 - 1)]' = g'(x^2 - 1) \cdot (x^2 - 1)' = g'(x^2 - 1) \cdot 2x olur.
Bileşke fonksiyon türevinde dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
3
Elde ettiğimiz türev ifadelerini birleştirerek f′(x)f'(x) fonksiyonunu yazalım ve x=2x = 2 değerini yerine koyalım.
f′(x)=3x2⋅g(x2−1)+(x3+1)⋅g′(x2−1)⋅2xf'(x) = 3x^2 \cdot g(x^2 - 1) + (x^3 + 1) \cdot g'(x^2 - 1) \cdot 2x olarak bulunur. x=2x = 2 için f′(2)=3(2)2⋅g(3)+(23+1)⋅g′(3)⋅2(2)=12⋅g(3)+36⋅g′(3)f'(2) = 3(2)^2 \cdot g(3) + (2^3 + 1) \cdot g'(3) \cdot 2(2) = 12 \cdot g(3) + 36 \cdot g'(3) elde edilir.
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türev değerini bulmak için türev fonksiyonunda o nokta yerine yazılır.
4
Verilen g(3)=2g(3) = 2 ve g′(3)=1g'(3) = 1 değerlerini yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
f′(2)=12⋅2+36⋅1=24+36=60f'(2) = 12 \cdot 2 + 36 \cdot 1 = 24 + 36 = 60 bulunur.
Soruda verilen fonksiyon ve türev değerleri aritmetik işleme dahil edilerek nihai sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Çarpım ve Zincir Kuralı)
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Türev Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru