Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzlemindeki birim çember üzerinde, üçüncü bölgede bulunan bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çembere çizilen teğet doğrusu; x=−1x = -1 doğrusunu KK noktasında, y=−1y = -1 doğrusunu ise LL noktasında kesmektedir.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklığın θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)Cevap
  2. B
    sec⁡θ+csc⁡θ−sec⁡θcsc⁡θ\sec\theta + \csc\theta - \sec\theta\csc\theta
  3. C
    sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta
  4. D
    −(sec⁡θ+csc⁡θ−sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta - \sec\theta\csc\theta)
  5. E
    sec⁡θcsc⁡θ−sec⁡θ−csc⁡θ\sec\theta\csc\theta - \sec\theta - \csc\theta

Cevap

−(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)
Doğru yanıt olan −(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta) ifadesi, üçüncü bölgedeki sin⁡θ\sin\theta ve cos⁡θ\cos\theta değerlerinin negatif işaretleri ve bu işaretlerin toplamının −1-1'den küçük olması dolayısıyla mutlak değer dışına çıkarma kurallarının eksiksiz uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini yazma
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi xx0+yy0=1x x_0 + y y_0 = 1 formülü ile bulunur.
2
KK noktasının koordinatlar��nı bulma
K(−1,1+cos⁡θsin⁡θ)K\left(-1, \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)
Teğet doğrusu ile x=−1x = -1 doğrusunun kesişim noktasını bulmak için teğet denkleminde x=−1x = -1 yazılır.
3
LL noktasının koordinatlarını bulma
L(1+sin⁡θcos⁡θ,−1)L\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}, -1\right)
Teğet doğrusu ile y=−1y = -1 doğrusunun kesişim noktasını bulmak için teğet denkleminde y=−1y = -1 yazılır.
4
KK ve LL noktaları arasındaki uzaklığın karesini hesaplama
KL2=(1+sin⁡θ+cos⁡θ)2sin⁡2θcos⁡2θKL^2 = \frac{(1+\sin\theta+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta\cos^2\theta}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d2=(xK−xL)2+(yK−yL)2d^2 = (x_K - x_L)^2 + (y_K - y_L)^2 uygulanarak ortak payda parantezine alınır.
5
Mutlak değer dışına çıkarma ve sadeleştirme
KL=−1+sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θcos⁡θ=−(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)KL = -\frac{1+\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = -(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)
θ\theta üçüncü bölgede olduğundan sin⁡θ<0\sin\theta < 0, cos⁡θ<0\cos\theta < 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<−1\sin\theta + \cos\theta < -1 olur. Dolayısıyla 1+sin⁡θ+cos⁡θ<01+\sin\theta+\cos\theta < 0 ve sin⁡θcos⁡θ>0\sin\theta\cos\theta > 0 olduğu için mutlak değer dışına çıkarırken işaret değişimi yapılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenlerine paralel doğrularla kesişim noktaları ve bu noktaların trigonometrik ifadelerle bölgelere göre analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru