Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Her xx gerçel sayısı için ikinci mertebeden türevi tanımlı olan bir ff fonksiyonu için
f′′(x)=6x−4f''(x) = 6x - 4
olduğu bilinmektedir.

y=f(x)y = f(x) eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasında bir yerel ekstremumu bulunmaktadır.

Eğri (1,3)(1, 3) noktasından geçtiğine göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. 5Cevap

Cevap

5
Verilen ikinci türev ifadesinin ardışık iki kez integrali alınarak ve yerel ekstremum (f′(1)=0f'(1) = 0) ile noktayı sağlama (f(1)=3f(1) = 3) koşulları uygulanarak integral sabitleri sırasıyla C1=1C_1 = 1 ve C2=3C_2 = 3 bulunur. Elde edilen f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında sonuç 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci türevi verilen fonksiyonun belirsiz integrali alınarak birinci türev fonksiyonu genel olarak elde edilir.
f′(x)=3x2−4x+C1f'(x) = 3x^2 - 4x + C_1
İkinci türevin integrali birinci türevi verir: ∫(6x−4) dx=3x2−4x+C1\int (6x - 4) \, dx = 3x^2 - 4x + C_1.
2
Yerel ekstremum koşulu kullanılarak birinci integral sabiti (C1C_1) hesaplanır.
C1=1C_1 = 1 ve f′(x)=3x2−4x+1f'(x) = 3x^2 - 4x + 1
x=1x = 1 apsisli noktada yerel ekstremum olduğu için f′(1)=0f'(1) = 0 olmalıdır. Buradan 3(1)2−4(1)+C1=0  ⟹  C1=13(1)^2 - 4(1) + C_1 = 0 \implies C_1 = 1 bulunur.
3
Birinci türev fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak fonksiyonun kendisi (f(x)f(x)) elde edilir.
f(x)=x3−2x2+x+C2f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C_2
Birinci türevin integrali fonksiyonun kendisini verir: ∫(3x2−4x+1) dx=x3−2x2+x+C2\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + C_2.
4
Eğrinin geçtiği nokta kullanılarak ikinci integral sabiti (C2C_2) hesaplanır.
C2=3C_2 = 3 ve f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3
Eğri (1,3)(1, 3) noktasından geçtiği için f(1)=3f(1) = 3 olmalıdır. Buradan 13−2(1)2+1+C2=3  ⟹  C2=31^3 - 2(1)^2 + 1 + C_2 = 3 \implies C_2 = 3 elde edilir.
5
Fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak istenen değer hesaplanır.
f(2)=5f(2) = 5
f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında f(2)=23−2(2)2+2+3=8−8+2+3=5f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 + 3 = 8 - 8 + 2 + 3 = 5 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları kullanılarak türevleri verilen bir fonksiyonun kendisinin elde edilmesi ve sınır koşullarıyla integral sabitlerinin bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru