Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
lim⁡x→−1x2+3+2xx3+1\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2x}{x^3 + 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevap: 0.5

Cevap

Limitin değeri 1/2 (veya 0,5) olarak bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra fonksiyona doğrudan limit değeri yazıldığında pay kısmı 66, payda kısmı ise 1212 değerini alır. Bu iki değerin oranı bize limit değerini 1/21/2 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktasını (x=−1x = -1) pay ve paydada yerine yazarak belirsizliği kontrol edin.
Pay: (−1)2+3+2(−1)=2−2=0\sqrt{(-1)^2 + 3} + 2(-1) = 2 - 2 = 0, Payda: (−1)3+1=0(-1)^3 + 1 = 0 olduğundan 0/00/0 belirsizliği vardır.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik durumunun varlığını doğrulamak gerekir.
2
Payı köklü ifadeden kurtarmak için limit ifadesinin pay ve paydasını payın eşleniği olan x2+3−2x\sqrt{x^2 + 3} - 2x ile çarpın.
(x2+3+2x)(x2+3−2x)(x3+1)(x2+3−2x)=(x2+3)−4x2(x3+1)(x2+3−2x)=3−3x2(x3+1)(x2+3−2x)\frac{(\sqrt{x^2 + 3} + 2x)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \frac{(x^2 + 3) - 4x^2}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \frac{3 - 3x^2}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}
Köklü ifadelerde 0/00/0 belirsizliğini gidermek için genellikle eşlenik çarpımı yapılarak fark çarpanı oluşturulur.
3
Paydaki 3−3x23 - 3x^2 ifadesini ve paydadaki x3+1x^3 + 1 ifadesini çarpanlarına ayırın, ardından ortak olan x+1x + 1 terimlerini sadeleştirin.
Pay: 3(1−x2)=3(1−x)(1+x)3(1 - x^2) = 3(1 - x)(1 + x), Payda: x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) olduğundan limit ifadesi şuna dönüşür:
lim⁡x→−13(1−x)(1+x)(x+1)(x2−x+1)(x2+3−2x)=lim⁡x→−13(1−x)(x2−x+1)(x2+3−2x)\lim_{x \to -1} \frac{3(1 - x)(1 + x)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \lim_{x \to -1} \frac{3(1 - x)}{(x^2 - x + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}
x→−1x \to -1 iken sıfır değerini alan ve belirsizliğe yol açan x+1x + 1 çarpanlarını yok etmek gerekir.
4
Sadeleşmiş ifadede xx yerine −1-1 yazarak limiti hesaplayın.
3(1−(−1))((−1)2−(−1)+1)((−1)2+3−2(−1))=3(2)(1+1+1)(4+2)=63×4=612=12\frac{3(1 - (-1))}{((-1)^2 - (-1) + 1)(\sqrt{(-1)^2 + 3} - 2(-1))} = \frac{3(2)}{(1 + 1 + 1)(\sqrt{4} + 2)} = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, yani 0.50.5 elde edilir.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle bulunur.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren köklü ve rasyonel ifadelerde eşlenik çarpımı ve çarpanlara ayırma teknikleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.

Alternatif Yöntem

L'Hospital kuralı kullanılarak payın ve paydanın türevi ayrı ayrı alınabilir. Payın türevi: ddx(x2+3+2x)=xx2+3+2\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+3} + 2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} + 2, Paydanın türevi: ddx(x3+1)=3x2\frac{d}{dx}(x^3+1) = 3x^2 olur. x→−1x \to -1 için payın türevi −12+2=32\frac{-1}{2} + 2 = \frac{3}{2} ve paydanın türevi 3(−1)2=33(-1)^2 = 3 olur. Oranlandığında 3/23=12\frac{3/2}{3} = \frac{1}{2} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru