Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDizi Kavramı ve Genel Terim

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisidir.

an=n2−9n−102n−ka_n = \frac{n^2 - 9n - 10}{2n - k}

genel terimi ile verilen (an)(a_n) dizisinin negatif terimlerinin sayısı 4 olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    20
  2. 40Cevap
  3. C
    60
  4. D
    80
  5. E
    100

Cevap

Farklı k değerlerinin toplamı 40'tır.
Genel terimi verilen ifadenin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı için tanımlı olması gerekir. Bu sebeple paydanın kökü pozitif bir tam sayı olamaz, yani kk çift sayı olamaz. Payın kökleri ile paydanın işaret değiştirdiği sınır noktası incelendiğinde, dizinin negatif terimlerinin sayısını tam olarak 4 yapan kk tam sayı değerleri sadece 11 ve 29 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 40'tır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerinin tanımlı olma şartının belirlenmesi
2n−k≠0  ⟹  k≠2n2n - k \neq 0 \implies k \neq 2n
Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması gerekir. Bu yüzden payda sıfır olamaz. Dolayısıyla kk sayısı çift bir pozitif tam sayı olamaz.
2
Pay kısmının işaretinin incelenmesi
n2−9n−10=(n−10)(n+1)n^2 - 9n - 10 = (n-10)(n+1) ifadesinin kökleri n=−1n = -1 ve n=10n = 10'dur.
Dizi terimlerinin işaretini incelemek için pay ve paydanın işaret değişim noktalarını belirlememiz gerekir. Pozitif tam sayılar kümesinde pay 1≤n≤91 \leq n \leq 9 için negatif, n=10n = 10 için sıfır ve n≥11n \geq 11 için pozitif değerler alır.
3
Paydanın işaret durumuna göre negatif terim sayısının analiz edilmesi (Birinci durum)
k/2<10k/2 < 10 ise k=11k = 11 bulunur.
Payda n=k/2n = k/2 noktasında işaret değiştirir. Eğer k/2<10k/2 < 10 ise, negatif terimler (k/2,10)(k/2, 10) aralığında yer alır. Bu aralıktaki terim sayısının 4 olması için 9,8,7,69, 8, 7, 6 terimleri negatif olmalıdır. Buradan 5≤k/2<6  ⟹  10≤k<125 \leq k/2 < 6 \implies 10 \leq k < 12 elde edilir. kk çift olamayacağından k=11k = 11 bulunur.
4
Paydanın işaret durumuna göre negatif terim sayısının analiz edilmesi (İkinci durum)
k/2>10k/2 > 10 ise k=29k = 29 bulunur.
Eğer k/2>10k/2 > 10 ise, negatif terimler (10,k/2)(10, k/2) aralığında yer alır. Bu aralıktaki terim sayısının 4 olması için 11,12,13,1411, 12, 13, 14 terimleri negatif olmalıdır. Buradan 14<k/2≤15  ⟹  28<k≤3014 < k/2 \leq 15 \implies 28 < k \leq 30 elde edilir. kk çift olamayacağından k=29k = 29 bulunur.
5
Bulunan kk değerlerinin toplamının hesaplanması
11+29=4011 + 29 = 40
Koşulları sağlayan kk tam sayı değerleri 11 ve 29 olduğundan, bu değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi genel terimi olabilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olması gerekir. Dizi terimlerinin işaretleri eşitsizlik tablosu yöntemiyle incelenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru