Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Sol sütunda verilen parabol denklemlerini, sağ sütunda verilen ve bu parabollerin eksenleri kestiği noktalarla ilişkili olan geometrik özelliklerle eşleştiriniz.

  • f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 parabolüEksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin merkez koordinatları (2,−2)(2, -2)'dir.
  • g(x)=−x2+6x−8g(x) = -x^2 + 6x - 8 parabolüTepe noktası, koordinat başlangıcı (orijin) ve yy eksenini kestiği nokta olan üçgenin alanı 1212 birimkaredir.
  • h(x)=12x2−3x+4h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 parabolüEksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin merkez koordinatları (3,3)(3, 3)'dir.

Cevap

f(x)f(x) parabolü eksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin merkez koordinatları (2,−2)(2, -2) olan ifadeyle, g(x)g(x) parabolü tepe noktası, orijin ve yy eksenini kestiği noktanın oluşturduğu üçgenin alanı 1212 birimkare olan ifadeyle, h(x)h(x) parabolü ise eksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin merkez koordinatları (3,3)(3, 3) olan ifadeyle eşleşir.
Sol sütundaki fonksiyonların eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktaları analitik yöntemlerle doğru bir şekilde belirlenip, sağ sütundaki çember merkez koordinatları ve üçgen alan bağıntılarıyla eşleştirildiğinde tam uyum sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve bu noktalardan geçen çemberin merkezini hesaplama.
Eksenleri kestiği noktalar A(−1,0)A(-1, 0), B(5,0)B(5, 0) ve C(0,−5)C(0, -5)'tir. Bu noktalardan geçen çemberin denklemi x2+y2−4x+4y−5=0x^2 + y^2 - 4x + 4y - 5 = 0 olup merkez koordinatları M(2,−2)M(2, -2)'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için y=0y=0 ve x=0x=0 değerleri verilir. Üç noktadan geçen çemberin genel denklemi x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 kullanılarak katsayılar bulunur ve merkez koordinatları (−D2,−E2)(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) formülüyle elde edilir.
2
g(x)=−x2+6x−8g(x) = -x^2 + 6x - 8 parabolünün tepe noktasını, yy eksenini kestiği noktayı belirleme ve oluşan üçgenin alanını hesaplama.
yy eksenini kestiği nokta F(0,−8)F(0, -8) ve tepe noktası T(3,1)T(3, 1)'dir. O(0,0)O(0,0), T(3,1)T(3,1) ve F(0,−8)F(0,-8) noktalarından oluşan üçgenin alanı 1212 birimkaredir.
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=3r = -\frac{b}{2a} = 3 ve ordinatı k=g(3)=1k = g(3) = 1 olarak bulunur. Üçgenin tabanı yy ekseni üzerinde [0,−8][0, -8] aralığında olup 88 birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise tepe noktasının apsisi olan 33 birimdir. Buradan alan 12⋅8⋅3=12\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 birimkare çıkar.
3
h(x)=12x2−3x+4h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve bu noktalardan geçen çemberin merkezini hesaplama.
Eksenleri kestiği noktalar K(2,0)K(2, 0), L(4,0)L(4, 0) ve M(0,4)M(0, 4)'tür. Bu noktalardan geçen çemberin denklemi x2+y2−6x−6y+8=0x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8 = 0 olup merkez koordinatları M′(3,3)M'(3, 3)'tür.
Parabol denkleminde y=0y=0 yazılarak xx eksenini kestiği noktalar, x=0x=0 yazılarak yy eksenini kestiği nokta bulunur. Bu üç noktadan geçen çemberin denklemi çözülerek merkez koordinatları belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve analitik geometri uygulamaları

Alternatif Yöntem

Çemberlerin merkez koordinatlarını bulmak için çemberin genel denklemini yazmak yerine, eksenleri kestiği noktalar olan A,B,CA, B, C noktalarının orta dikmelerinin kesişim noktası bulunarak da çemberin merkezine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru