Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun yerel minimum noktası (2,−5)(2, -5)'tir.

f(x)=∫x6−64x4+4x2+16 dxf(x) = \int \frac{x^6 - 64}{x^4 + 4x^2 + 16} \, dx

olduğuna göre, f(−1)f(-1) değeri kaçtır?

  1. A
    113\frac{11}{3}
  2. B
    −203-\frac{20}{3}
  3. 4Cevap
  4. D
    0
  5. E
    -2

Cevap

İntegral sadeleştirilip hesaplandığında elde edilen fonksiyonun yerel minimum noktası yardımıyla integral sabiti C=1/3C = 1/3 bulunur. Bu durumda f(−1)f(-1) değeri 44 olmalıdır.
İntegral içerisindeki ifade iki küp farkı özdeşliği ile sadeleştirildiğinde f′(x)=x2−4f'(x) = x^2 - 4 olur. Buradan integral alındığında f(x)=x33−4x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + C elde edilir. Türevin işaret tablosuna göre yerel minimum noktası x=2x=2 apsisinde gerçekleşir. (2,−5)(2, -5) noktası fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında C=1/3C = 1/3 bulunur. Bu fonksiyon denkleminde x=−1x = -1 yazıldığında sonuç 44 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadenin pay kısmını iki küp farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırma
x6−64=(x2)3−43=(x2−4)(x4+4x2+16)x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16) olarak yazılır.
Payda ile sadeleşme sağlayarak integrali daha basit bir polinom haline getirmek amaçlanır.
2
Rasyonel ifadeyi sadeleştirme ve integral alma işlemini gerçekleştirme
f(x)=∫(x2−4)(x4+4x2+16)x4+4x2+16 dx=∫(x2−4) dx=x33−4x+Cf(x) = \int \frac{(x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)}{x^4 + 4x^2 + 16} \, dx = \int (x^2 - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - 4x + C elde edilir.
Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel kuralı integral sabiti CC ile birlikte bulunur.
3
Fonksiyonun türevi yardımıyla yerel minimum noktasının apsisini belirleme
f′(x)=x2−4=0  ⟹  x=2f'(x) = x^2 - 4 = 0 \implies x = 2 veya x=−2x = -2. İşaret tablosuna göre türev x=2x = 2 noktasında negatiften pozitife geçtiği için bu nokta yerel minimum apsisidir.
Soruda verilen yerel minimum noktasının hangi xx değerine karşılık geldiğini tespit etmek gerekir.
4
Yerel minimum noktasının koordinatlar��nı fonksiyonda yerine yazarak CC sabitini hesaplama
f(2)=−5  ⟹  233−4(2)+C=−5  ⟹  83−8+C=−5  ⟹  C=13f(2) = -5 \implies \frac{2^3}{3} - 4(2) + C = -5 \implies \frac{8}{3} - 8 + C = -5 \implies C = \frac{1}{3} bulunur.
Fonksiyon grafiği üzerindeki bir nokta, fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.
5
f(−1)f(-1) değerini hesaplama
f(−1)=(−1)33−4(−1)+13=−13+4+13=4f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 4(-1) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} + 4 + \frac{1}{3} = 4 bulunur.
Elde edilen tam fonksiyon denkleminde istenen girdi yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki küp farkı yardımıyla rasyonel ifadeleri sadeleştirerek belirsiz integral alma ve türevin yerel ekstremum özelliklerini kullanarak integral sabitini bulma.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru